Question

Колесо, радіус якого R = 0,1 м, обертається так, що залежність кута повороту φ радіуса колеса від часу t описується рівнянням φ = A sin (Bt) + Ct2, де А = 1 рад; B = 3c-1 (-1 - це степінь); C = 2 рад/с2 (типу с у квадраті). Для точок на ободі колеса обчислити через час t1 = 2 pi / 3 c після початку руху кутову \omega та лінійну v швидкості, а також кутове \varepsilon, тангенціальне аt та нормальне an прискорення.

Answer 1

Для обчислення кутової швидкості ω за формулою ω = dφ/dt, необхідно взяти похідну від рівняння φ = a*sin(bt) + ct^2 по відношенню до часу t.

dφ/dt = d/dt(a*sin(bt) + ct^2) = a*b*cos(bt) + 2*c*t

Підставляючи значення a = 1, b = 3c-1, c = 2, отримаємо:

ω(t) = (3c-1)*cos((3c-1)t) + 4t

Тепер можемо обчислити значення кутової швидкості ω(t1) при часі t1 = 2π/3c після початку руху. Підставимо значення t1 в рівняння ω(t):

ω(t1) = (3c-1)*cos((3c-1)*t1) + 4*t1 = (3c-1)*cos((3c-1)*(2π/3c)) + 4*(2π/3c)

Так само, для обчислення лінійної швидкості v за формулою v = r * ω, де r - радіус колеса, підставимо значення r = 0.1 м і розрахуємо значення v(t1):

v(t1) = 0.1 * ω(t1)

Також, для обчислення кутового прискорення ε за формулою ε = dω/dt, візьмемо похідну від рівняння ω(t):

ε(t) = d/dt [(3c-1)*cos((3c-1)t) + 4t] = -(3c-1)*(3c-1)*sin((3c-1)*t) + 4

Знаючи значення тангенціального прискорення at = r * ε, де r - радіус колеса, отримаємо:

at(t1) = 0.1 * ε(t1)

Так само, для обчислення нормального прискорення an за формулою an = r * ω^2, отримаємо:

an(t1) = 0.1 * ω(t1)^2