Question

Терміново! Даю 19 балів Задача 10. Колесо радіусом R=0,1 м обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу дається рівнянням =4+2+^3 рад. Для точок, що лежать на ободі колеса, знайти через 3 с після початку руху 1) кутове, тангенціальне й нормальне прискорення, 2) число обертів, зроблених колесом до цього моменту часу, 3) середні лінійну й кутову швидкості за цей час.

Answer 1

1) щоб знайти кутове прискорення колеса, ми диференціюємо рівняння для кута повороту двічі за часом:

θ(t) = 4t + 2t^2 + t^3

Перша похідна дасть нам кутову швидкість:

ω(t) = dθ(t)/dt = 4 + 4t + 3t^2

А друга похідна дасть нам кутове прискорення:

α(t) = d²θ(t)/dt² = 4 + 6t

Тепер перейдемо до тангенціального і нормального прискорень. Тангенціальне прискорення at можна виразити наступним чином:

at(t) = R * α(t)

де R-радіус колеса. Значення R дано в задачі і дорівнює 0,1 м.

Нормальне прискорення ап (t) визначається наступним чином:

an(t) = R * ω(t)^2

Перейдемо до розрахунків.

Підставимо значення часу t = 3 секунди в рівняння:

θ(3) = 4(3) + 2(3^2) + 3^3 = 4 + 18 + 27 = 49 радіан

Далі, кутова швидкість:

ω(3) = 4 + 4(3) + 3(3^2) = 4 + 12 + 27 = 43 рад / з

Кутове прискорення:

α(3) = 4 + 6(3) = 4 + 18 = 22 рад / з^2

Тангенціальне прискорення:

at(3) = R * α(3) = 0,1 * 22 = 2,2 м/сек^2

Нормальне прискорення:

an(3) = R * ω(3)^2 = 0,1 * (43)^2 = 18,47 m / s^2

2) щоб знайти число обертів, зроблених колесом до моменту часу 3 секунди, ми можемо використовувати формулу:

N = θ / (2π)

Тоді:

N = 49 /(2π) ≈ 7,8 обороту

3) Середня лінійна швидкість Vavg за час t можна розрахувати, розділивши загальний пройдений шлях на час:

Vavg = L / t

де L - довжина кола колеса, L = 2πR.

Тоді:

Vavg = (2πR) / t = (2π * 0,1)/3 ≈ 0,21 м / сек

Середню кутову швидкість ωavg можна знайти, розділивши загальний кут повороту на час:

ωavg = θ / t = 49 / 3 ≈ 16,3 рад / сек

Таким чином, за час 3 секунди у колеса було пройдено приблизно 7,8 обороту, Середня лінійна швидкість склала близько 0,21 м/сек, а середня кутова швидкість була приблизно 16,3 рад/с.

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу крок за кроком.

1) Кутове, тангенціальне і нормальне прискорення:

Спочатку ми маємо рівняння для кутового руху колеса: θ(t) = 4t^3 рад,

де θ(t) - кутовий переміщення від часу t.

Щоб знайти кутову швидкість та кутове прискорення, ми повинні взяти похідну від цього рівняння:

θ'(t) = d(4t^3)/dt = 12t^2 рад/с - кутова швидкість. θ''(t) = d(12t^2)/dt = 24t рад/с^2 - кутове прискорення.

Тепер ми можемо знайти тангенціальне та нормальне прискорення. Тангенціальне прискорення визначається як похідна від кутової швидкості:

a_t = θ''(t) * R,

де R - радіус колеса (R = 0.1 м). Підставляючи значення, отримуємо:

a_t = 24t * 0.1 м = 2.4t м/с^2.

Нормальне прискорення визначається як квадрат кутової швидкості, поділеної на радіус колеса:

a_n = (θ'(t))^2 * R,

a_n = (12t^2)^2 * 0.1 м = 1.44t^4 м/с^2.

2) Число обертів колеса:

Для знаходження числа обертів, зроблених колесом до часу t, ми можемо використовувати кутове переміщення. Кутове переміщення дорівнює кількості обертів помноженій на 2π (якщо ми вимірюємо кути в радіанах):

θ(t) = 4t^3 рад, Кількість обертів = θ(t) / (2π) = (4t^3) / (2π) = (2t^3/π) обертів.

3) Середня лінійна та кутова швидкість:

Середню лінійну швидкість можна обчислити, поділивши лінійне переміщення на час:

v_avg = R * θ'(t),

де R - радіус колеса (R = 0.1 м). Підставимо значення:

v_avg = 0.1 м * 12t^2 = 1.2t^2 м/с.

Середню кутову швидкість можна знайти, поділивши кутове переміщення на час:

ω_avg = θ(t) / t = 4t^3 / t = 4t^2 рад/с.

Отже, відповідно до задачі:

1) Кутове прискорення: a_t = 2.4t м/с^2, Нормальне прискорення: a_n = 1.44t^4 м/с^2.

2) Кількість обертів: (2t^3/π) обертів.

3) Середня лінійна швидкість: v_avg = 1.2t^2 м/с, Середня кутова швидкість: ω_avg = 4t^2 рад/с.