Question

По гладкой горизонтальной поверхности стола по двум взаимно перпендикулярным направлениям двигались два шарика массами 3m и 7m. Величины импульсов этих двух шариков были равны. После удара они слиплись и начали двигаться как одно целое. Какая часть начальной кинетической энергии шариков перешла в теплоту? Ответ выразить в процентах, округлив до целых.

Answer 1

Дано:

m₁=3m;

m₂=7m;

p₁=p₂=p;

________

Найти $\displaystyle \frac{U}{E_k}$

Решение:

Так как импульсы тел равны, можно записать:

$\displaystyle m_1v_1=m_2v_2 => 3mv_1=7mv_2=> v_1=\frac{7}{3}v_2$

Распишем закон сохранения импульса в проекциях на координатные оси:

$\displaystyle 3mv_1=10mv'_x => v'_x=\frac{3mv_1}{10m}=\frac{3}{10}v_1=\frac{7}{10}v_2$

$\displaystyle 7mv_2=10mv'_y => v'_y=\frac{7mv_2}{10m}=\frac{7}{10}v_2$

Хорошо видно, что после соударения тела буду двигаться с равными проекциями скоростей.

Результирующая скорость:

$\displaystyle v'=\sqrt{v'_x^2+v'_y^2}=\sqrt{2*\frac{7^2}{10^2}v_2^2 } =\frac{7\sqrt{2} }{10}v_2$

Первоначальное значение кинетической энергии обоих тел:

$\displaystyle E_k=\frac{3m49v_2^2}{2*9}+\frac{7mv_2^2}{2} = \frac{49mv_2^2}{6}+\frac{7mv_2^2}{2}= \frac{70mv_2^2}{6}$

Конечное значение кинетической энергии после взаимодействия:

$\displaystyle E_k'=\frac{10m49*2*v_2^2}{2*100}=\frac{49mv_2^2}{10}$

Перешла в теплоту:

$\displaystyle U=E_k-E_k'=\frac{70mv_2^2}{6}-\frac{49mv_2^2}{10}=\frac{203mv_2^2}{30}$

Процентное соотношение:

$\displaystyle \frac{U}{E_k}=\frac{203mv_2^2}{30}*\frac{6}{70mv_2^2}=0.58$ или 58%

Ответ: 58%.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Поскольку величины импульсов шариков до и после столкновения равны, мы можем записать уравнение: $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)V$, где $m_1$ и $m_2$ - массы шариков, $v_1$ и $v_2$ - их начальные скорости, и $V$ - скорость шариков после столкновения.

Также мы можем использовать закон сохранения энергии: $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 + Q$, где $Q$ - количество теплоты, выделившееся в результате столкновения.

Из условия задачи известно, что $m_1 = 3m$ и $m_2 = 7m$. Также сказано, что величины импульсов шариков были равны, поэтому $v_1 = v_2$, и мы можем записать это как $v_1 = v_2 = v$.

Подставим эти значения в уравнения и решим их. Начнем с уравнения сохранения импульса: $3mv + 7mv = (3m + 7m)V$, $10mv = 10mV$, $v = V$.

Теперь подставим $v = V$ в уравнение сохранения энергии: $\frac{1}{2}(3m)v^2 + \frac{1}{2}(7m)v^2 = \frac{1}{2}(3m + 7m)V^2 + Q$, $\frac{1}{2}(3m + 7m)v^2 = \frac{1}{2}(10m)V^2 + Q$, $10mv^2 = 10mV^2 + 2Q$.

Так как $v = V$, мы можем записать: $10mV^2 = 10mV^2 + 2Q$, $Q = 0$.

Это означает, что вся начальная кинетическая энергия шариков перешла в кинетическую энергию движения после столкновения, и никакая часть ее не перешла в теплоту. Таким образом, ответ составляет 0% (округлено до целых).