Question

Один из углов треугольника равен "альфа". Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведенных из вершин двух других углов.

Answer 1

Пусть имеем треугольник АВС и точку Д как точку пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С.
Угол А = α, угол В = β и угол С = γ.
Внешние углы углов В и С равны 180 - β и 180 - γ.
Их половины равны (180 - β)/2 и (180 - γ)/2.
Угол Д между биссектрисами внешних углов равен:
∠Д = 180 - (((180 - β)/2) + ((180 - γ)/2)) = (β + γ)/2.
Но так как β + γ = 180 - α, то искомый угол Д = (180 - α)/2.
 

Answer 2

Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором один из углов (назовем его B) равен "альфа". Пусть D и E - точки пересечения внешних биссектрис угла A и C со сторонами BC и AB соответственно.

Углы DBE и DCE являются внешними углами треугольника ABC, а значит, их сумма равна внешнему углу треугольника в вершине B. В данном случае это угол B.

Таким образом, угол DBE + угол DCE = угол B

Но мы знаем, что угол B = "альфа". Тогда у нас получается уравнение:

угол DBE + угол DCE = "альфа"

Нам нужно найти угол между биссектрисами, то есть угол DBE - угол DCE.

Для этого мы можем выразить угол DCE через угол DBE из уравнения:

угол DCE = "альфа" - угол DBE

Заменим это значение в уравнении:

угол DBE + ("альфа" - угол DBE) = "альфа"

Раскроем скобки:

"альфа" = "альфа"

Таким образом, мы видим, что угол между биссектрисами внешних углов, проведенных из вершин двух других углов, равен "альфа".