Question

1. В лотерее 100 билетов, среди которых 1 выигрыш в 50 руб.; 3 – по 25 руб.; 6 – по 10 руб.; 15 – по 5руб. Какова вероятность выиграть по одному билету: а) не менее 25 руб.; б) не более 25 руб. 2. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность 1-го узла равна 0,8, 2-го – 0,7. прибор испытывался в течение времени t, в результате, он отказал. Найти вероятность того, что отказал только 1-й узел, а 2-й – исправен. (Надежность – время безотказной работы в течение времени t). 3. На склад магазина поступают изделия, 80 % которых высшего сорта. Сколько изделий надо взять наудачу со склада, чтобы с вероятностью 0,997 можно было утверждать, что частота изделий высшего сорта находится между 0,75 и 0,85?

Answer 1

Оба варианта не правильные.  

В а) надо перемножать вероятности.  

В б) надо найти вероятность, что оба билета не выигрышные. Эта вероятность равна 90/100 * 89/99 =89/110. Противоположное событие как раз и означает, что хотя бы один билет выигрышный. Вероятность противоположного события равна 1 - 89/110 =21/110

Answer 2

1. Вероятность выиграть не менее 25 рублей:

а) Это означает, что нужно вычислить вероятность выиграть 25 рублей или больше. Есть 1 выигрыш в 50 рублей, 3 выигрыша по 25 рублей, и 6 выигрышей по 10 рублей. Всего 1 + 3 + 6 = 10 возможных способов выиграть не менее 25 рублей.

Вероятность выиграть 25 рублей или больше = (10 способов / 100 билетов) = 10% или 0,1.

б) Вероятность выиграть не более 25 рублей:

Это означает, что нужно вычислить вероятность выиграть 25 рублей или меньше. Вероятность выигрыша в 25 рублей составляет 3/100 (3 билета из 100). Для вероятности выигрыша не более 25 рублей нужно учесть и другие выигрыши (10 рублей, 5 рублей и 50 рублей) и сложить их вероятности.

Вероятность выиграть 10 рублей = 6/100 = 0,06 Вероятность выиграть 5 рублей = 15/100 = 0,15 Вероятность выиграть 50 рублей = 1/100 = 0,01

Теперь сложим эти вероятности:

Вероятность выиграть не более 25 рублей = (Вероятность выигрыша 25 рублей + Вероятность выигрыша 10 рублей + Вероятность выигрыша 5 рублей + Вероятность выигрыша 50 рублей) = (0,03 + 0,06 + 0,15 + 0,01) = 0,25 или 25%.

2. Вероятность того, что отказал только 1-й узел, а 2-й узел исправен:

Для этого мы используем формулу Бернулли. Вероятность отказа 1-го узла (P1) равна 1 - надежности 1-го узла, то есть 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность отказа 2-го узла (P2) равна 1 - надежности 2-го узла, то есть 1 - 0,7 = 0,3.

Теперь мы можем использовать формулу Бернулли для вычисления вероятности отказа только 1-го узла:

P(отказ 1-го, исправен 2-й) = P1 * (1 - P2) = 0,2 * 0,3 = 0,06 или 6%.

3. Для решения этой задачи мы можем использовать нормальное распределение.

Сначала найдем стандартное отклонение (σ) для биномиального распределения. Вероятность изготовления изделия высшего сорта (p) составляет 80%, а вероятность изготовления изделия низшего сорта (1 - p) составляет 20%.

σ = sqrt[p * (1 - p) / n]

где n - количество изделий, которые мы берем.

Теперь мы хотим, чтобы вероятность того, что частота изделий высшего сорта находится между 0,75 и 0,85 (p' в интервале [0,75, 0,85]), была не менее 0,997. То есть:

P(0,75 ≤ p' ≤ 0,85) ≥ 0,997

Мы можем использовать стандартное нормальное распределение Z для этой задачи:

Z = (p' - p) / σ

где p' - искомая частота высшего сорта, p - вероятность высшего сорта (0,8), σ - стандартное отклонение.

Теперь мы хотим, чтобы P(0,75 ≤ p' ≤ 0,85) ≥ 0,997. Мы можем использовать таблицы нормального распределения или калькулятор для нахождения соответствующих значений Z.

Затем мы можем решить уравнение:

P(Z ≤ z) - P(Z ≤ -z) ≥ 0,997

где z - значение Z, найденное из таблиц нормального распределения. Это уравнение позволит нам найти необходимое количество изделий n.

После нахождения n мы можем взять наудачу со склада это количество изделий, и с вероятностью 0,997 мы сможем утверждать, что частота изделий высшего сорта находится в интервале [0,75, 0,85].