Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями : y= x^4, y=2-x^2 распишите на листочке, пожалуйста

Answer 1

---------------------------

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^4$ и $y = 2 - x^2$, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разность этих функций в пределах пересечения.

1. Найдем точки пересечения $x^4 = 2 - x^2$:

$$x^4 + x^2 - 2 = 0$$

Это уравнение квадратное относительно $x^2$, и его можно решить заменой переменной. Пусть $u = x^2$, тогда у нас будет:

$$u^2 + u - 2 = 0$$

Решим это квадратное уравнение:

$$(u + 2)(u - 1) = 0$$

Отсюда получаем два возможных значения $u$:

$u_1 = -2$ и $u_2 = 1$.

Так как $u = x^2$, мы знаем, что $x^2$ не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем только $u_2 = 1$. Это приводит к $x = \pm 1$.

Таким образом, точки пересечения: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

2. Теперь найдем площадь между графиками функций в пределах пересечения. Используем интеграл:

$$\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} [(2 - x^2) - x^4] \, dx$$

Раскрываем скобки:

$$\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - x^4) \, dx$$

Интегрируем каждый член по отдельности:

$$\text{Площадь} = \left[ 2x - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{-1}^{1}$$

Вычисляем значение интеграла в пределах от $-1$ до $1$:

$$\text{Площадь} = \left(2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) - \left(-2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$$

$$\text{Площадь} = \frac{16}{15}$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^4$ и $y = 2 - x^2$ на интервале от $-1$ до $1$, равна $\frac{16}{15}$.