Question

Решите пожалуйста 1. вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями а) y=x^2, y=0, y=3; г)y=1\x^2, y=0, x=1, x=2 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями б) y=1\(x+1)^2+1, y=0, x=0, x=2; г)y=-(x-1)^3, y=0, x=0 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями а) y=x^2, y=0, x=4; б) y=x^3+2, y=0, x=0, x=2

Answer 1

Площадь фигуры может быть вычислена через определённый интеграл.График функции y=3x² - 2 - квадратная парабола веточками вверх. Вершина параболы находится в точке А(0; -2). Парабола пересекает ось х в двух точках:х₁ = -√2/3 ≈ -0,816х₂ = √2/3 ≈ 0,816Найдём пределы интегрированияПри х = 1 y=3x² - 2 = 1Эта точка находится правее нуля функции в точке х₂ ≈ 0,816, т.е. в области положительных у, поэтому нижний предел х = 1, ну, а верхний предел, естественно, х = 2.Интегрируем: ∫(3x² - 2)dx = x³ - 2x.Подставляем пределы:S = (2³ - 2·2) - (1³ - 2·1) = 4+1 = 5Ответ: Площадь фигуры равна 5

Answer 2

Для начала рассчитаем площадь фигур, ограниченных заданными линиями.

1. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями

а) y=x^2, y=0, y=3

Сначала найдем точки пересечения кривых: 1. Точки пересечения y=x^2 и y=0: Уравнение y=x^2 пересекает ось x в точках (0, 0) и (0, 3). 2. Точки пересечения y=x^2 и y=3: Уравнение y=x^2 пересекает y=3 в точках (±√3, 3).

Теперь мы можем построить график, чтобы наглядно увидеть фигуру, ограниченную этими линиями и найти область, которую нужно вычислить.

  |
3 |       .(√3,3)
  |      /  
  |     / 
  |    /  
  |   /  
  |  /  
  | /  
  |/.(0,0) 
  +----------------
  0   1   2   3   4

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно вычислить определенный интеграл функции y=x^2 в пределах от 0 до √3, а затем вычесть площадь под прямой y=3.

Площадь = ∫[0, √3] (x^2) dx - ∫[0, √3] 3 dx

Вычислим первый интеграл: ∫[0, √3] (x^2) dx = [x^3/3] от 0 до √3 = (√3)^3/3 - 0 = 3/3 = 1

Теперь вычислим второй интеграл: ∫[0, √3] 3 dx = 3√3 - 0 = 3√3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=0, y=3, равна: Площадь = 1 - 3√3

2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями

б) y=1/(x+1)^2+1, y=0, x=0, x=2

Аналогично, начнем с поиска точек пересечения кривых: 1. Точки пересечения y=1/(x+1)^2+1 и y=0: Уравнение y=1/(x+1)^2+1 не пересекает ось x, поэтому y=0 не пересекает эту кривую. 2. Точки пересечения y=1/(x+1)^2+1 и x=0: Уравнение x=0 пересекает y=1/(x+1)^2+1 в точке (0, 1). 3. Точки пересечения y=1/(x+1)^2+1 и x=2: Уравнение x=2 не пересекает y=1/(x+1)^2+1, так как x=2 находится справа от асимптоты x=-1.

Теперь мы можем построить график, чтобы наглядно увидеть фигуру, ограниченную этими линиями и найти область, которую нужно вычислить.

```plaintext | 1 | .(0,1) | / | / | / |/. +---------------- 0 1 2 3 4