Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4x и y=0 (сделать чертеж).

Answer 1

Находим точки пересечения параболы y=x^2 - 4x о осью Ох (условие у = 0).
x^2 - 4x = х(х - 4) = 0.
Получаем 2 точки:
х = 0  х = 4.
Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4x и y=0, равна интегралу:
$S= \int\limits^4_0 {(x^2-4x)} \, dx = \frac{x^3}{3}- \frac{4x^2}{2}|_0^4= |\frac{64}{3}-2*16|= \frac{32}{3} .$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этим. Давайте начнем с построения графика данных функций, чтобы лучше понять, как выглядит фигура, ограниченная этими линиями.

Функции:

1. y = x^2 - 4x (парабола)
2. y = 0 (ось x)

Давайте нарисуем график:

Теперь мы видим, что парабола y = x^2 - 4x пересекает ось x в двух точках: x = 0 и x = 4. Она также направлена вверх, поэтому ограничиваемая фигура находится между этими двумя корнями.

Чтобы вычислить площадь этой фигуры, нам нужно вычислить интеграл от функции y = x^2 - 4x на интервале [0, 4]. Площадь под графиком функции равна значению этого интеграла.

Интеграл: ∫(от 0 до 4) (x^2 - 4x) dx

Давайте рассчитаем этот интеграл:

∫(от 0 до 4) (x^2 - 4x) dx = [(x^3/3) - 2x^2] от 0 до 4 = (4^3/3 - 2 * 4^2) - (0 - 0) = (64/3 - 32) - 0 = 64/3 - 96/3 = -32/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x и y = 0, равна 32/3 квадратных единиц.