Question

Вычислить площадь фигуры ограниченные линиями f(x)=x^2, x=1, x=2, y=0 Вычислить площадь фигуры ограниченные линиями y=sinx, y=0, x=π, x=3π/2 Вычислить площадь фигуры ограниченные линиями f(x)=x^2+6, y=2x-3

Answer 1

x²+3x=0
x(x+3)=0
x=0
x=-3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры между кривыми можно использовать определенный интеграл. Общая формула для вычисления площади фигуры между двумя кривыми y = f(x) и y = g(x) на отрезке [a, b] выглядит следующим образом:

Площадь = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

Для первой фигуры, ограниченной линиями f(x) = x^2, x = 1, x = 2 и y = 0:

Точки пересечения: f(x) = 0 → x^2 = 0 → x = 0 (это не учитывается, так как нас интересует отрезок [1, 2]) x = 1 x = 2

Площадь = ∫[1, 2] |x^2 - 0| dx = ∫[1, 2] x^2 dx

Вычислим интеграл: ∫[1, 2] x^2 dx = [x^3/3] from 1 to 2 = (2^3/3) - (1^3/3) = 8/3 - 1/3 = 7/3

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями f(x) = x^2, x = 1, x = 2 и y = 0 равна 7/3.

Для второй фигуры, ограниченной линиями y = sinx, y = 0, x = π, x = 3π/2:

Точки пересечения: y = sinx = 0 → x = 0, π, 2π, 3π, ...

На отрезке [π, 3π/2] у нас есть две области, которые нужно рассмотреть:

1. Отрезок [π, 3π/2], где sinx > 0 (т.е., от 0 до π, где sinx положителен).
2. Отрезок [π, 3π/2], где sinx < 0 (т.е., от π до 3π/2, где sinx отрицателен).

Площадь = ∫[π, 3π/2] |sinx - 0| dx = ∫[π, 3π/2] sinx dx

Вычислим интеграл: ∫[π, 3π/2] sinx dx = [-cosx] from π to 3π/2 = [-cos(3π/2)] - [-cosπ] = [0] - [-(-1)] = 1

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = sinx, y = 0, x = π, x = 3π/2 равна 1.

Для третьей фигуры, ограниченной линиями f(x) = x^2 + 6 и y = 2x - 3:

Точки пересечения: f(x) = y → x^2 + 6 = 2x - 3 → x^2 - 2x + 9 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 419 = 4 - 36 = -32

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, а значит, кривые не пересекаются. Поэтому площадь фигуры между этими кривыми равна нулю.