Question

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертёж области интегрирования. 2.Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями: ; , , .3. С помощью двойного интергала вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями: xy=4 , x+y-5=0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

P.S. в следующий раз такие задачки больше двух не буду решать. Невыгодно для некоторых!

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое задание по порядку.

1. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле. Переписать двойной интеграл, меняя порядок интегрирования, означает заменить порядок интегрирования по переменным внутри интеграла. Если у нас есть двойной интеграл:

$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) \,dy \,dx$

то мы можем изменить порядок интегрирования и записать его в другом порядке:

$\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) \,dx \,dy$

Таким образом, нужно поменять порядок переменных внутри интеграла и обновить пределы интегрирования соответственно.

2. Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями: Для выполнения данного задания нам необходимо знать границы области D, ограниченной указанными линиями. Отсутствие полной информации о границах области делает невозможным проведение вычислений. Если у вас есть конкретные значения границ области D, пожалуйста, предоставьте их, чтобы я мог выполнить вычисления.

3. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла: Для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной указанными линиями, можно использовать двойной интеграл. Предположим, что фигура ограничена линиями $xy = 4$ и $x + y - 5 = 0$.

Для вычисления площади, мы можем записать двойной интеграл следующим образом:

$\text{Площадь} = \iint_D dA$

где $D$ - область, ограниченная указанными линиями, и $dA$ представляет собой элемент площади.

Перед тем как продолжить, нужно найти точки пересечения двух линий $xy = 4$ и $x + y - 5 = 0$. Для этого приравняем их между собой:

$xy = 4$ $x + y = 5$

Теперь решим систему уравнений. Умножим первое уравнение на $x$ и вычтем из второго:

$x^2 + xy - 5x = 0$ $x^2 + 4 - 5x = 0$ $x^2 - 5x + 4 = 0$ $(x - 1)(x - 4) = 0$

Отсюда получаем $x = 1$ и $x = 4$. Подставим $x$ в одно из уравнений для нахождения соответствующих $y$:

Когда $x = 1$: $1 + y = 5$ $y = 4$

Когда $x = 4$: $4 + y = 5$ $y = 1$

Таким образом, точки пересечения равны $(1, 4)$ и $(4, 1)$. Теперь у нас есть границы области D. Чтобы найти площадь, выполним следующий двойной интеграл:

$\text{Площадь} = \iint_D dA = \int_{1}^{4} \int_{4}^{5-x} dy \, dx$

Интегрируя по $y$ сначала, а затем по $x$, получим площадь фигуры, ограниченной линиями $xy = 4$ и $x + y - 5 = 0$.