Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями {x = 3 cos t, y = 4 sin t, y >= 2√3. Смотреть ответ pushpull pushpull Ответ: Пошаговое объяснение:       для простоты рисования графика, отмечу, что мы фактически имеем эллипс вот рисуем этот эллипс и прямую у = 2√3. в осях ох   оу  мы нарисовали  график и видим все границы по х и у теперь нам надо перейти к пределам интегрирования по t у = 2√3 = 4sin t  ⇒  t₁ = π/3;  t₂= 2π/3 однако, мы видим, что нужная нам фигура состоит из двух симметричных относительно оси оу фигур. найдем площадь одной и умножим потом на 2 надл найти "высшую" точку эллипса. это будет точка при х = 0 х = 0 = 3cost  ⇒ t = π/2 вот и все, теперь считаем интергал теперь для первого интеграла мы сделаем замену u=2t; du=2dt, тогда в этом интеграле поменяются пределы интегрирования   верхний станет π, а нижний 2π/3, и вот

Answer 1

Давайте вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями $x = 3\cos t$, $y = 4\sin t$ и $y \geq 2\sqrt{3}$ с использованием интеграла. Как вы отметили, это будет площадь одной половины фигуры, а затем мы умножим ее на 2, чтобы учесть симметрию относительно оси $y$.

1. Найдем интервал значений $t$, для которых $y \geq 2\sqrt{3}$:

   $4\sin t \geq 2\sqrt{3}$

   Решив это уравнение, получаем $t \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

2. Теперь найдем точку пересечения кривой с осью $x$ (где $x = 0$):

   $3\cos t = 0$

   Решая это уравнение, получаем $t = \frac{\pi}{2}$.

3. Мы будем интегрировать по параметру $t$ на интервале $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$, затем умножим результат на 2, чтобы учесть симметрию.

4. Теперь мы можем записать площадь фигуры с использованием интеграла:

   $S = 2\int_{\pi/3}^{\pi/2} \left(4\sin t\right) \left(3\cos t\right) dt$

5. Мы также можем упростить выражение:

   $S = 24\int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin t\cos t dt$

6. Теперь проведем интегрирование:

   $S = 24\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{1}{2}\sin(2t) dt$

7. Интегрируя, получаем:

   $S = 12\left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_{\pi/3}^{\pi/2} = 12\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\pi\right)\right)$

8. Учитывая значения косинуса для $\frac{\pi}{3}$ и $\pi$, вычислим $S$:

   $S = 12\left(\frac{1}{2} - (-1)\right) = 12\left(\frac{1}{2} + 1\right) = 12\cdot\frac{3}{2} = 18$

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 18 квадратным единицам.