Question

Вычислите производную y=x^e^tgx

Answer 1

Y=x^e^tgx
используем то, функция сложная
y' = (x^e^tgx)'= (x^e^tgx)' * (e^tgx)' * (tgx)' = (x^e^tgx -1) * e^tgx * 1/(cosx)^2=
=  (x /e^tgx) * e^tgx * 1/(cosx)^2= x / (cosx)^2 - ответ

Answer 2

Для вычисления производной функции y = x^(e^(tgx)) необходимо использовать правило производной сложной функции.

Для этого обозначим u = e^(tgx) и заменим y на u^x. Теперь функция выглядит как y = x^u.

Затем применим правило производной сложной функции (Chain Rule):

dy/dx = dy/du * du/dx.

1. Найдем производную dy/du: dy/du = d(x^u)/du = x^u * ln(x).

2. Теперь найдем производную du/dx: Заметим, что u = e^(tgx) - это композиция двух функций: u = f(g(x)), где f(u) = e^u и g(x) = tgx.

Тогда du/dx = f'(g(x)) * g'(x), где f'(u) - производная функции f(u), а g'(x) - производная функции g(x).

Вычислим производные: f'(u) = d(e^u)/du = e^u, g'(x) = d(tgx)/dx = sec^2(x).

Таким образом, du/dx = e^(tgx) * sec^2(x).

Теперь мы можем получить производную функции y по x:

dy/dx = dy/du * du/dx dy/dx = (x^u * ln(x)) * (e^(tgx) * sec^2(x)).

Заменим u обратно на e^(tgx):

dy/dx = x^(e^(tgx)) * ln(x) * e^(tgx) * sec^2(x).

Таким образом, производная функции y = x^(e^(tgx)) равна: dy/dx = x^(e^(tgx)) * ln(x) * e^(tgx) * sec^2(x).