Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями p=1/2 + cos(Ф)

Answer 1

Ловите решение. Обычно в задании добавляют ограниченной кривой и осями координат. Удачи!

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой в полярных координатах, нужно знать зависимость радиуса от угла. В данном случае у нас есть уравнение кривой в полярных координатах:

$p = \frac{1}{2} + \cos(\Phi).$

Здесь $p$ - это радиус, а $\Phi$ - угол.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой, мы должны вычислить определенный интеграл от $0$ до $2\pi$ для функции $p(\Phi)$ в качестве радиуса. Поскольку $\Phi$ варьируется от $0$ до $2\pi$, это даст нам полную площадь фигуры.

Площадь фигуры в полярных координатах можно вычислить по формуле:

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} p(\Phi)^2 \, d\Phi,$

где $\alpha$ и $\beta$ - углы начала и конца области, ограничивающей фигуру. В данном случае, $\alpha = 0$ и $\beta = 2\pi$.

Подставим выражение для $p(\Phi)$ в формулу:

$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \cos(\Phi)\right)^2 \, d\Phi.$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} + \cos^2(\Phi) + \cos(\Phi)\right) \, d\Phi.$

$S = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{4}\Phi + \frac{\Phi}{2} + \sin(\Phi)\right]_0^{2\pi}.$

$S = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{4}(2\pi) + \frac{2\pi}{2} + \sin(2\pi)\right) - \left(\frac{1}{4}(0) + \frac{0}{2} + \sin(0)\right)\right].$

$S = \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{2} + \sin(2\pi) - 0\right].$

Так как $\sin(2\pi) = 0$, получаем:

$S = \frac{\pi}{4}.$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой $p = \frac{1}{2} + \cos(\Phi)$ в полярных координатах, равна $\frac{\pi}{4}$ квадратных единиц.