Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями : у=х2 и у=6-х

Answer 1

x^2=6-x

x^2+x-6=0

D=1+24=25

x1=(-1+5)/2=4/2=2

x2=(-1-5)/2=-6/2=-3

(-3;2) S (x^2+x-6)dx = x^3/3 +x^2/2 -6x | (-3;2) =

=8/3+2-12-( -9+9/2+18) = 8/3 -10+9-9/2-18 = -19 +8/3-9/2= -19+16/6-27/6=

=-19-11/6 = -19- 1 5/6 =-20 5/6 = 20 5/6 ( т.к. площадь не может быть отрицательной)

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и определить пределы интегрирования. В данном случае, кривые представляют собой параболу у = х^2 и прямую у = 6 - х.

Для начала найдем точки пересечения этих кривых:

Уравнение параболы: у = х^2 Уравнение прямой: у = 6 - х

Чтобы найти точку пересечения, приравняем уравнения друг к другу:

х^2 = 6 - х

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

х^2 + х - 6 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где a = 1, b = 1, c = -6

D = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

Корни уравнения:

х = (-b + √D) / 2a х = (-1 + √25) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2

и

х = (-b - √D) / 2a х = (-1 - √25) / 2 = (-1 - 5) / 2 = -3

Таким образом, точки пересечения кривых у = х^2 и у = 6 - х: (2, 4) и (-3, 9).

Теперь мы можем найти площадь фигуры, вычислив определенный интеграл от разности функций:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

Где a и b - это значения x для точек пересечения кривых.

Площадь = ∫[-3, 2] ((6 - x) - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [6x - (x^2/2) - (x^3/3)] |[-3, 2]

Площадь = [6 * 2 - (2^2/2) - (2^3/3)] - [6 * (-3) - ((-3)^2/2) - ((-3)^3/3)]

Площадь = [12 - 2 - 8/3] - [-18 - 9/2 + 27]

Площадь = (10 - 8/3) - (-18 - 9/2 + 27)

Площадь = 30/3 + 18 - 8/3

Площадь = (30 + 54 - 8) / 3

Площадь = 76 / 3 ≈ 25.3333

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми у = х^2 и у = 6 - х, составляет примерно 25.3333 квадратных единиц.