Question

Дан правильный шестиугольник. Докажите,  что если последовательно соединить отрезками серидины его сторон,  то получится правильный шестиугольник.  

Answer 1

Правильный шестиугольник — у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Дано: 6-угольник АВСДЕФ Проведем диагонали АД, ВЕ и СФ, т.О-их пересечение. Назовем середины сторон соответственно А1,В1,С1,Д1,Е1,Ф1.

Рассмотрим треугольник АВО. Т.к. все углы в правильном 6-угольнике равны 120 градусов, то угол ОАВ=ФАВ/2=120/2=60. Угол АОВ=360/6=60. Угол АВО=180-ОАВ-АОВ=60, значит треугольник АОВ равносторонний, значит ОА=ОВ=АВ. Треугольники АВО и А1В1о подобные, т.к. ОА1=ОВ1=ОА/2=ОВ/2, а угол АОВ общий, значит треугольник А1В1О – тоже равносторонний. Аналогично для остальных пяти сторон. Получается, что новый 6-угольник имеет все углы равные и стороны равные между собой и равные половине сторон первого 6-угольника

Answer 2

Чтобы доказать, что последовательное соединение середин сторон правильного шестиугольника дает новый правильный шестиугольник, можно воспользоваться двумя методами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический метод:
1. Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF.
2. Проведем отрезок, соединяющий середину стороны AB с серединой стороны CD. Обозначим середину этого отрезка как G.
3. Аналогично проведем отрезки GH, HI, IJ, JK, KL, LM, MN, NO, OP, PA, пройдя по соответствующим серединам сторон шестиугольника в указанном порядке.
4. Полученный многоугольник GHIJKLMNOPA будет иметь те же углы и длины сторон, что и исходный шестиугольник ABCDEF.
5. Так как все стороны и углы равны, то новый многоугольник GHIJKLMNOPA также является правильным шестиугольником.

Алгебраический метод:
1. Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF, в котором сторона AB равна a.
2. Для удобства обозначим точку, соединяющую середину стороны AB с серединой стороны CD, как G.
3. Для координатной плоскости будем использовать систему координат, где середина стороны AB будет иметь координаты (0,0), а вершина B будет иметь координаты (a/2,0).
4. Точка G будет иметь координаты (a/4,0).
5. Последовательно соединяя середины сторон, получим координаты всех остальных середин: H(a/8,0), I(a/16,0), J(a/32,0), K(a/64,0), L(a/128,0), M(a/256,0), N(a/512,0), O(a/1024,0), P(a/2048,0), A(0,0).
6. Все координаты соответствуют вершинам правильного шестиугольника ABCDEF.
7. Так как координаты точек удовлетворяют условиям правильного шестиугольника, то новый многоугольник GHIJKLMNOPA также является правильным шестиугольником.

Таким образом, можно сделать вывод, что последовательное соединение середин сторон правильного шестиугольника дает новый правильный шестиугольник.