Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен 30°. Вычисли объём пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Рассмотрим Δ ,где один     катет равен 4 см ,угол между нижним катетом и апофемой боковой грани равен 30°.

Апофема равна 4*2=8 см, так как высота лежит против угла в 30°.

В основании пирамиды правильный треугольник.

Найдем 1/3 часть высоты этого треугольника.(по теореме Пифагора)

Обозначим КО.

КО=√(8²-4²)=√(64-16)=√48=4√3.

Мы знаем , что в равностороннем треугольнике в точке пересечения высот, биссектрис , медиан, высоты делятся в отношении 1 к 2.

Значит высота треугольника основания равна

h=4√3*3=12√3 см.

Мы знаем формулу определения площади  равностороннего треугольника по её высоте.

S=h²/√3=(12√3)²/√3=144√3.

V=1/3*  Sоснов.*4=(1/3)*144√3*4=576/√3=(576*√3)/3=192√3.

Answer 2

Ответ: Объём правильной треугольной пирамиды можно вычислить по формуле $$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h$$, где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды. Поскольку основание пирамиды - это равносторонний треугольник, то его площадь можно найти по формуле $$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$, где $a$ - сторона треугольника. Чтобы найти $a$, воспользуемся теоремой синусов для одного из боковых треугольников пирамиды: $$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{h}{\sin 30^\circ}$$, откуда $$a = \frac{h\sqrt{3}}{2}$$.

Подставляя эти значения в формулу объёма, получаем: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{h\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{12}h^3$$.

Заменяя $h$ на $4$ см, получаем: $$V = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot 4^3 = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 \approx 9,24 \text{ см}^3$$.

Ответ: Объём пирамиды равен $\frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$ или приблизительно $9,24 \text{ см}^3$.

: [Формула объёма пирамиды] : [Формула площади равностороннего треугольника]