Question

в прямоугольном треугольнике высота и медиана проведенные из прямого угла относятся как 24:25 найдите отношение радиусов описанной и вписанной окружносткй

Answer 1

Обозначим $AB=c,~ AC=b,~ BC=a,~ CH=h$. Пусть $h=24x,~ CM=25x.$ Поскольку $CM$ — медиана, то $AM=MB$ и так как $M$ — центр описанной окружности, то $AM=MB=CM=25x$ (как радиусы окружности). Тогда $r=\dfrac{2S}{P}$, площадь треугольника $S=\dfrac{ch}{2}=\dfrac{50x\cdot 24x}{2}=600x$ кв.ед. Определим теперь периметр:

$P=a+b+c=\sqrt{(a+b)^2}+c=\sqrt{a^2+b^2+2ab}+c=\sqrt{c^2+4S}+c$

$P=\sqrt{(50x)^2+4\cdot 600x}+50x=70x+50x=120x$

Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{2S}{P}=\dfrac{2\cdot 600x}{120x}=10x$.

Определим теперь отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

$\dfrac{R}{r}=\dfrac{25x}{10x}=2{,}5$

Ответ: R : r = 5 : 2.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться следующими соотношениями в прямоугольном треугольнике:

1. Высота, проведенная из прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника.

2. Медиана, проведенная из прямого угла, также делит треугольник на два подобных треугольника.

Из условия задачи, известно, что отношение длин высоты к медиане равно 24:25. Давайте обозначим длину высоты как h и длину медианы как m.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

h/m = 24/25

Теперь давайте рассмотрим вписанную и описанную окружности в этом треугольнике.

1. Радиус описанной окружности (R): Радиус описанной окружности всегда равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника. Пусть гипотенуза равна c, и у нас есть теорема Пифагора:

   a^2 + b^2 = c^2

   где a и b - катеты, а c - гипотенуза. В данной задаче мы не знаем длины катетов, но нам не нужно знать их значения, так как нам дано отношение высоты к медиане, которое не зависит от конкретных значений сторон треугольника.

2. Радиус вписанной окружности (r): Радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и его полупериметр (s):

   r = S / s

   где S - площадь треугольника, s - полупериметр.

Площадь треугольника можно выразить через длины его сторон a, b и c:

S = (a * b) / 2

Полупериметр s равен половине суммы длин всех сторон:

s = (a + b + c) / 2

Теперь мы можем выразить отношение радиусов описанной и вписанной окружностей:

R/r = (c/2) / (S / s)

R/r = (c/2) / ((a * b) / (2 * (a + b + c)))

R/r = c / (a * b / (a + b + c))

Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем выразить c в терминах a и b:

c^2 = a^2 + b^2

c = sqrt(a^2 + b^2)

Теперь подставим это значение обратно в наше выражение для R/r:

R/r = (sqrt(a^2 + b^2)) / (a * b / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)))

Теперь мы можем упростить это выражение, заметив, что a и b относятся как 24:25 (согласно условию задачи h/m = 24/25):

a = 24x b = 25x

где x - некоторый коэффициент.

Теперь подставим это обратно в выражение для R/r:

R/r = (sqrt((24x)^2 + (25x)^2)) / ((24x * 25x) / (24x + 25x + sqrt((24x)^2 + (25x)^2)))

Теперь у нас есть выражение, в котором все переменные выразились через x. Мы можем упростить его, и затем выразить x:

R/r = (sqrt(576x^2 + 625x^2)) / ((600x^2) / (49x + sqrt(576x^2 + 625x^2)))

R/r = (sqrt(1201x^2)) / ((600x^2) / (49x + sqrt(1201x^2)))

R/r = sqrt(1201) / (600 / (49 + sqrt(1201)))

Теперь мы можем выразить R/r в числовом виде:

R/r = sqrt(1201) / (600 / (49 + sqrt(1201)))

R/r ≈ sqrt(1201) / (600 / (49 + sqrt(1201))) ≈ 0.994

Ответ: Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей приближенно равно 0.994.