Question

Точки А, В и С сферы лежат на поверхности так, что АВ = ВС = = 12 см, <BAC = 30°. Найдите площадь поверхности сферы, если известно, что расстояние от центра сферы до плоскости тре угольника АВС равно 3 см. ​

Answer 1

Ответ:

612π см²

Объяснение:

Треугольник АВС вписан в сечение сферы - в окружность с центром К.

• Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен плоскости сечения.

ОК ⊥ (АВС), значит ОК = 3 см - расстояние от центра сферы до плоскости.

• По следствию из теоремы синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=2\cdot KA$

$\dfrac{12}{\frac{1}{2}}=2KA$

KA = 12 см

ΔАКО:  ∠АКО = 90°, по теореме Пифагора

 R = AO = √(KA² + OK²) = √(12² + 3²) = √(144 + 9) = √153 = 3√17 см

Площадь поверхности сферы:

S = 4πR²

S = 4 · π · (3√17)² = 4 · π · 9 · 17 = 612π см²

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться сферической геометрией и теоремой косинусов.

Пусть O - центр сферы, а R - её радиус. Тогда требуется найти площадь поверхности сферы, которая равна 4πR².

Известно, что расстояние от центра сферы до плоскости треугольника ABC равно 3 см. Обозначим это расстояние как h. Тогда можно нарисовать перпендикуляр от O к плоскости треугольника ABC. Поскольку треугольник ABC - равносторонний, угол между перпендикуляром и одной из сторон треугольника равен 30°.

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику OAB: cos(30°) = (OA² + OB² - AB²) / (2 * OA * OB)

Известно, что AB = 12 см, и так как O - центр сферы, то OA = OB = R. Подставим эти значения в уравнение: cos(30°) = (R² + R² - 12²) / (2 * R * R)

Упростим уравнение: cos(30°) = (2R² - 144) / (2R²)

Теперь решим уравнение относительно R²: 2R² - 144 = 2R² * cos(30°)

Учитывая, что cos(30°) = √3 / 2, получим: 2R² - 144 = 2R² * (√3 / 2)

Упростим: 2R² - 144 = R² * √3

Теперь выразим R²: R² * √3 = 144

R² = 144 / √3

Теперь, чтобы найти площадь поверхности сферы, умножим найденное значение R² на 4π: Площадь поверхности сферы = 4π * (144 / √3)

Для удобства давайте оставим в ответе значение площади в радикалах: Площадь поверхности сферы = (4 * 144π) / √3

Упростим это значение: Площадь поверхности сферы = (576π) / √3

Таким образом, площадь поверхности сферы равна (576π) / √3 квадратных см.