Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3-12x^2+36x+11 на отрезке [4,5; 13]

Answer 1

у'=3x²-24x+36=3(x²-8x+12)=0  По Виету х=6; х=2∉ [4,5; 13]

найдем

y(4.5)=4.5^3-12*4.5^2+36*4.5+11=91.125-243+162+11=21.125

y(6)=6^3-12*6^2+36*6+11=216-432+216+11=11- наименьшее значение на отрезке  [4,5; 13]

y(13)=13^3-12*13^2+36*13+11=2197-2028+468+11=648-наибольшее значение на отрезке [4,5; 13]

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^3 - 12x^2 + 36x + 11$ на отрезке $[4,5; 13]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Проверить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка.

Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = 3x^2 - 24x + 36$

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

$3x^2 - 24x + 36 = 0$

Решим это уравнение. Сначала, можно разделить все на 3:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Теперь факторизуем:

$(x - 6)(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x = 6$ и $x = 2$.

Теперь проверим значения функции в этих точках и на концах отрезка $[4,5; 13]$:

• При $x = 4,5$ и $x = 13$ вычисляем $y$.
• При $x = 6$ и $x = 2$ также вычисляем $y$.

Теперь сравним найденные значения и выберем наименьшее.

Подставим значения в функцию:

1. $y(4.5)$
2. $y(13)$
3. $y(6)$
4. $y(2)$

Выберем минимальное значение из этих четырех.