Question

Помогите пжл с алгеброй даю 70 баллов 1. Найдите наибольшее значение функции у = х3 + 2х2 – 4х + 4 на отрезке [-2; 0] 2.Найдите наименьшее значение функции у = 15х – sinx + 8 на отрезке [0;π/2] 3.Найдите наименьшее значение функции у = 4х – tgх + 12 на отрезке [-π/4;0] 4.Найдите точку максимума функции у = х3 + 2х2 + х + 3 5.Найдите наименьшее значение функции у = -4/х – х на отрезке [-2,5; -1] 6.Найдите наибольшее значение функции у = 18sinx – 9√3x + 1,5√3π + 21 на отрезке [0; π/2]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) y'=3x^2+4x-4,    y'=0,  3x^2+4x-4=0,   D=64,  x=-2  и  x=2/3-не принадл-т

[-2;0],  находим значение функции в точках  -2,  и  0,

y(-2)=-8+2*4-4*(-2)+4=-8+8+8+4=12(наиб)

y(0)=0+0-0+4=4  (наим),   ответ: 12

2) y'=15-cosx>0,   т.к.  |cosx|<<1,   производная  >0,  значит функция

возрастает  и наименьшее в левом конце отрезка, т.е. в точке  0,

y(0)=15*0-sin0+8=8,  ответ  8

3) y'=4-1/cos^2x=(4cos^2x-1)/cos^2x,   cosx не =0,   y'=0,

4cos^2x-1=0,  cos^2x=1/4,  cosx=1/2  или  cosx=-1/2,

x=+-p/3+2pn,  x=+-2p/3+2pn, это критические точки и надо

посмотреть, какие из них принадлежат отрезку

Answer 2

Конечно, я помогу вам с решением этих задач. Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 + 2x^2 - 4x + 4$ на отрезке [-2; 0]:

Для начала, найдем критические точки, где производная равна нулю: $y' = 3x^2 + 4x - 4$ $3x^2 + 4x - 4 = 0$

Это уравнение можно решить. Получим два значения x: $x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Из них на отрезке [-2; 0] нас интересует только $x_1 = -2$.

Подставляем это значение x в исходную функцию: $y = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2; 0] равно 12.

2. Найдите наименьшее значение функции $y = 15x - \sin(x) + 8$ на отрезке [0; π/2]:

Найдем производную функции: $y' = 15 - \cos(x)$.

Производная равна нулю, когда $\cos(x) = 15$, но такое уравнение не имеет решений на интервале [0; π/2].

А так как производная положительна на всем интервале [0; π/2] (так как $\cos(x)$ убывает на этом интервале), это означает, что функция монотонно возрастает на этом интервале. Следовательно, наименьшее значение функции достигается в точке $x = 0$: $y = 15 \cdot 0 - \sin(0) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8$.

3. Найдите наименьшее значение функции $y = 4x - \tan(x) + 12$ на отрезке [-π/4; 0]:

Аналогично предыдущей задаче, найдем производную функции: $y' = 4 - \sec^2(x)$.

Производная равна нулю, когда $\sec^2(x) = 4$, то есть $\cos^2(x) = \frac{1}{4}$, что выполняется при $x = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение x в исходную функцию: $y = 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) - \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 12 \approx -4.81$.

4. Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$:

Для нахождения точки максимума, найдем производную и приравняем её к нулю: $y' = 3x^2 + 4x + 1$. $3x^2 + 4x + 1 = 0$.

Это уравнение имеет решение: $x = -1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке: $y = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$.

Таким образом, точка максимума функции находится в точке (-1, 3).

5. Найдите наименьшее значение функции $y = -\frac{4}{x} - x$ на отрезке [-2.5; -1]:

Для начала, упростим функцию: $y = -\frac{4}{x} - x = -\frac{4 - x^2}{x}$.

Функция становится минимальной, когда дробь $\frac{4 - x^2}{x}$ минимальна.

Исследуем это выражение для x на интервале [-2.5; -1]:

• При x = -2.5: $\frac{4 - (-2.5)^2}{-2.5} = -2.6$.
• При x = -1: $\frac{4 - (-1)^2}{-1} = -3$.

Следовательно, наименьшее значение функции на этом интервале равно -3.

6. Найдите наибольшее значение функции $y = 18\sin(x) - 9\sqrt{3}x + 1.5\sqrt{3}\pi + 21$ на отрезке [0; π/2]:

Для нахождения максимального значения производной этой функции нужно найти, когда она равна нулю: $y' = 18\cos(x) - 9\sqrt{3}$. $18\cos(x) - 9\sqrt{3} = 0$.

Это уравнение имеет решение: $x = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение x в исходную функцию: $y = 18\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 9\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{6} + 1.5\sqrt{3}\pi + 21 \approx 33.18$.

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [0; π/2] равно около 33.18.

Надеюсь, что это решение поможет вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.