Question

В четырехугольнике ABCD известно, что AB = AD, а диагонали АС и BD перпендикулярны. Докажите, что BC=CD.​

Answer 1

Ответ:

замечаем что четырехугольник АВСD является ромбом

поскольку АВ=AD, диагонали АС и BD перпендикулярны

и так как все стороны ромба равны ⇔ BC=CD

Answer 2

Для доказательства, что BC = CD, мы можем использовать свойства четырехугольника ABCD и теорему о прямоугольных треугольниках.

Известно, что AB = AD. Теперь рассмотрим треугольник ACD и треугольник ABC:

1. Треугольник ACD:

   • AC - это одна из диагоналей четырехугольника.
   • AD - это сторона четырехугольника.
   • Так как AC и AD перпендикулярны и AD = AB (по условию), то треугольник ACD является прямоугольным с гипотенузой AC и катетом AD.

2. Треугольник ABC:

   • AB - это одна из сторон четырехугольника.
   • BC - это другая сторона четырехугольника.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника с одинаковой гипотенузой AC (так как она является одной и той же диагональю) и одинаковыми катетами AD и AB. Согласно теореме Пифагора, если два треугольника имеют равные гипотенузы и равные катеты, то их вторые катеты также равны.

Итак, мы доказали, что AD = AB и AC - это общая диагональ для обоих треугольников. Поэтому BC = CD, так как это второй катет в треугольнике ABC и треугольнике ACD.