Question

Знайдіть об'єм правильноï чотирикутної піраміди вписаноï в кулю радіуса R, бічне ребро якої утворює з площиною основи кута

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

фото

Answer 2

Об'єм правильної чотирикутної піраміди можна знайти за формулою:

V = (1/3) * A_base * h,

де: V - об'єм піраміди, A_base - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

У нас є правильна чотирикутна піраміда, вписана в кулю радіуса R. Основою піраміди є квадрат, оскільки вона правильна. Нехай сторона цього квадрата буде "a".

Також нам дано, що бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут "α". Цей кут можна поділити на два прямі кути, тобто "α/2" кожен.

За допомогою тригонометричних співвідношень можна знайти висоту піраміди "h" та сторону квадрата "a" в залежності від радіуса "R" та кута "α/2".

1. Розглянемо правильний трикутник, який утворюється половиною бічного ребра піраміди, радіусом кулі та медіаною основи піраміди. За теоремою косинусів маємо:

cos(α/2) = (a/2) / R,

де "a/2" - половина сторони квадрата.

Розв'язавши це рівняння відносно "a", отримаємо:

a = 2R * cos(α/2).

2. Тепер знайдемо висоту піраміди, яка є медіаною утвореного трикутника. Знову за теоремою косинусів:

cos(90°) = (h^2 + (a/2)^2) / R^2, 0 = (h^2 + (2R * cos(α/2)/2)^2) / R^2.

Розв'язавши це рівняння відносно "h", отримаємо:

h = R * sqrt(1 - cos^2(α/2)).

Тепер ми маємо всі необхідні параметри для обчислення об'єму піраміди:

A_base = a^2 = (2R * cos(α/2))^2, h = R * sqrt(1 - cos^2(α/2)).

Тепер можемо підставити ці значення в формулу об'єму піраміди:

V = (1/3) * A_base * h = (1/3) * ((2R * cos(α/2))^2) * (R * sqrt(1 - cos^2(α/2))).

Це є виразом для об'єму правильної чотирикутної піраміди вписаної в кулю з заданими параметрами.