Question

В четырехугольнике ABCD AB=CD, BC=AD.Докажите что ∠A=∠C и∠B=∠D //////ПОЖАЛУЙСТААА, ДАЮ 30 БАЛОВ//////

Answer 1

Дано:
АВСD
AB=CD
BC=AD
Док-ть,что A=C B=D
Док-во
Выполним доп. повторение соединим А и Д
Рассмотрим треугольники АДС и Дба
1 ав=ссд по условию
2вс =ад по условию
3ад общая
Треугольник адс и треугольник два = по третьему признаку
следовательно в=д а=с
ч.т.д

Answer 2

Для доказательства того, что в четырехугольнике ABCD с условием AB=CD и BC=AD следует, что ∠A=∠C и ∠B=∠D, можно воспользоваться свойствами равнобоких трапеций.

Дано: AB=CD (1) BC=AD (2)

Чтобы доказать, что ∠A=∠C и ∠B=∠D, предположим, что ABCD - равнобокая трапеция. Равнобокая трапеция - это четырехугольник с одной парой параллельных сторон и равными основаниями.

Рассмотрим особенности равнобокой трапеции:

1. В равнобокой трапеции углы на основаниях равны между собой (∠A=∠C).
2. В равнобокой трапеции углы у оснований дополняются до 180 градусов (смежные углы дополнительны).
3. В равнобокой трапеции диагонали равны (AC=BD).

Доказательство:

1. Из условия AB=CD (1) и BC=AD (2) следует, что у нас есть равные стороны вида AB=AD и BC=CD. Это намекает, что ABCD может быть равнобокой трапецией.

2. Допустим, что ABCD - равнобокая трапеция. Тогда ∠A=∠C (условие равенства углов на основаниях).

3. Также, в равнобокой трапеции углы у оснований дополняются до 180 градусов. Это означает, что ∠A + ∠D = 180° и ∠B + ∠C = 180°.

4. Так как ∠A=∠C (из предположения трапеции) и ∠A + ∠D = 180°, то ∠C + ∠D = 180°.

5. Аналогично, так как ∠B + ∠C = 180° и ∠A=∠C, то ∠B + ∠A = 180°.

6. Теперь сравним уравнения ∠C + ∠D = 180° (из пункта 4) и ∠B + ∠A = 180° (из пункта 5). Очевидно, что ∠C + ∠D = ∠B + ∠A.

7. Так как сумма углов в четырехугольнике равна 360°, то получаем, что ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

8. Теперь, подставим равенства из пункта 6: ∠C + ∠D + ∠C + ∠A = 360°.

9. Упростим: 2(∠C + ∠A) = 360°.

10. Получаем, что ∠C + ∠A = 180°.

11. Так как ∠C=∠A (из предположения трапеции), то ∠A + ∠A = 180°.

12. Значит, ∠A = 90°.

Таким образом, предположение о том, что ABCD является равнобокой трапецией, верно. Таким образом, ∠A=∠C и ∠B=∠D, что и требовалось доказать.