Question

Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите площадь пирамиды.

Answer 1

Т.к. треугольник АБС-равносторонний, то АВ=АС=ВС=а
Т.к. треугольник АБС-равносторонний, то по теореме Пифагора
АМ=√(АС-МС)=√12=2√3
Величина радиуса окружности АО=2/3 высоты основания, следовательно
АО=2√3*2/3=4/√3
Т.к. треугольник АМО-прямоугольный, то угол МАО=АМО=45°, МО=АО=4/√3
S=АВ^2*√3/4 = 16√3/4 = 4√3 см^2
Ответ: 4√3 см^2

Answer 2

Чтобы найти площадь пирамиды, нужно сначала найти высоту пирамиды и боковые грани, а затем применить формулу для нахождения площади поверхности пирамиды.

Для начала найдем высоту пирамиды. У нас есть равносторонний треугольник, и угол между плоскостью основания и боковой гранью равен 45 градусам. Для нахождения высоты этого треугольника можно использовать теорему синусов.

Пусть H - высота пирамиды, тогда H равно расстоянию от вершины пирамиды до центра основания треугольника. Поскольку треугольник равносторонний, его высота проходит через центр и делит его на два равных равносторонних треугольника.

Тогда высота H равна половине высоты равностороннего треугольника со стороной 4 см. Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле: h = (a * √3) / 2, где a - длина стороны треугольника.

h = (4 * √3) / 2 = 2√3 см.

Теперь найдем длину каждого бокового ребра пирамиды. Для этого мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половиной одной из боковых граней пирамиды, высотой H и гипотенузой - диагональю равностороннего треугольника.

По теореме Пифагора: $l = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{12 + 16} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

Теперь, чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нужно сложить площади всех ее граней. Пирамида имеет 4 боковые равносторонних треугольных грани и 1 основание (равносторонний треугольник).

Площадь основания пирамиды: $S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = 4\sqrt{3}$ см².

Площадь боковых граней пирамиды (4 треугольные грани): $S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot l \cdot H = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{14 \cdot 3} = 8\sqrt{42}$ см².

Теперь сложим площади всех граней: $S_{\text{пир}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 4\sqrt{3} + 8\sqrt{42}$ см².

Итак, площадь поверхности пирамиды составляет $4\sqrt{3} + 8\sqrt{42}$ квадратных сантиметров.