Question

Діагоналі рівнобічної трапеції ділять середню лінію на три рівні відрізки. Знайдіть бічну сторону трапеції, якщо її більша основа дорівнює 12см і в трапецію можна вписати коло. 

Answer 1

1) Так як в трапецію можна вписати коло, то суми її протилежних сторін рівні, тобто АВ+СД=ВС+АД або 2АВ=ВС+АД, де АВ - шукана бічна сторона, ВС - менша основа, АД=12 см. Із формули знайдемо, що АВ=0,5(ВС+АД)=0,5(ВС+12)

2) Нехай середня лінія МN (М - середина АВ)  перетинає діагоналі АС в точці К, а ВД в точці Р. Тоді за умовою Відрізки МК=КР=РN=х (приймемо за х). В тр-ку АСД КN - середня лінія яка дорівнює половині основи АД, тобто КN=6 см. Але КN=2х, тоді х=3 см.

3) В тр-ку ВСА МК=3 - середня линія, тоді основа ВС=3*2=6 см.

4) Так, АВ=0,5(6+12)=9 см.

Answer 2

Позначимо більшу основу рівнобічної трапеції як $AB$ і меншу основу як $CD$. Нехай $E$ і $F$ - це середини сторін $AB$ та $CD$ відповідно, а $G$ - точка перетину діагоналей.

Оскільки трапеція рівнобічна, то $AD=BC=\frac{AB-CD}{2}$. З іншого боку, $EF=\frac{AB+CD}{2}= \frac{12+CD}{2}$, оскільки $AB=12$. З умови задачі, діагоналі трапеції ділять $EF$ на три рівні відрізки, тому $EG=\frac{1}{3}EF=\frac{1}{3}\cdot \frac{12+CD}{2}=\frac{4+CD}{2}$. Аналогічно, $FG=\frac{4+CD}{2}$.

З того, що $EG=FG$, маємо $\frac{4+CD}{2}=\frac{4+CD}{2}$, що дає $CD=8$. Таким чином, $AD=BC=\frac{12-8}{2}=2$. З умови задачі, трапецію можна вписати в коло. Оскільки трапеція рівнобічна, то це коло буде описаним, і його радіус дорівнюватиме половині довжини діагоналі $AC$. Застосуємо теорему Піфагора для прямокутного трикутника $ACG$: $AC^2=AG^2+CG^2=(2\cdot EG)^2+(AF-FC)^2=\left(2\cdot \frac{4+CD}{2}\right)^2+\left(\frac{12-CD}{2}-\frac{CD}{2}\right)^2.$ Підставляємо $CD=8$ і отримуємо: $AC^2=\left(2\cdot \frac{4+8}{2}\right)^2+\left(\frac{12-8}{2}-\frac{8}{2}\right)^2=100,$ звідки $AC=10$. Отже, бічна сторона трапеції дорівнює $AD=BC=2$.