Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 РАВНО а. Найдите ростояние между прямыми CC1 и B1D1

Answer 1

Так как CC₁ перпендикулярна плоскости (A₁B₁C₁), в которой лежит B₁D₁, то расстояние будет длина общего перпендикуляра двух скрецивающихся прямых СС₁ и Д₁В₁, т.е. высота C₁Т треугольника B₁C₁D₁. Стороны треугольника B₁C₁ = C₁D₁ = a, B₁D₁= а√2 (по теореме Пифагора как диагональ верхнего основания) . Треугольник Д₁С₁В₁ равнобедренный => высота, проведенная к основанию,  и медиана совпадают, т. е. B₁Т = ТD₁ = а√2/2. По теореме Пифагора из треугольника B₁C₁Т ищем высоту C₁Т и получаем

√(а²-( а√2/2)²) =а√2/2

Answer 2

Чтобы найти расстояние между прямыми CC1 и B1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1, нужно учесть, что эти прямые являются диагоналями плоскости, которая делит куб на две пирамиды CC1D1 и B1C1D1. Для определения расстояния между этими диагоналями, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Куб имеет все стороны равными (пусть сторона куба равна "а"), и углы между диагоналями плоскости, делящей куб на две пирамиды, равны 90 градусов (потому что куб имеет прямоугольные грани).

Пусть P будет серединой ребра куба (точка, в которой пересекаются диагонали плоскости). Таким образом, треугольники CCP1 и C1B1D1 являются прямоугольными, и их гипотенузы это ребро куба "а", а катеты это расстояния между прямыми CC1 и B1D1.

Теперь, применим теорему Пифагора для этих треугольников:

1. Для треугольника CCP1: CC1^2 = CP^2 + P1P^2

2. Для треугольника C1B1D1: C1B1^2 = C1P^2 + P1D1^2

Заметим, что CP = C1P, потому что P находится на середине ребра куба, и PC1 является диагональю грани куба, что делает их равными.

Теперь мы можем выразить P1D1 и P1P через "а":

P1P = 0.5 * а (половина ребра куба) P1D1 = P1P = 0.5 * а (потому что куб симметричен)

Подставим эти значения в уравнения:

1. CC1^2 = (0.5 * а)^2 + (0.5 * а)^2 = 0.25 * а^2 + 0.25 * а^2 = 0.5 * а^2
2. C1B1^2 = (0.5 * а)^2 + (0.5 * а)^2 = 0.25 * а^2 + 0.25 * а^2 = 0.5 * а^2

Теперь найдем длины диагоналей CC1 и C1B1 с помощью извлечения квадратного корня:

1. CC1 = √(0.5 * а^2) = √(0.5) * а ≈ 0.707 * а
2. C1B1 = √(0.5 * а^2) = √(0.5) * а ≈ 0.707 * а

Таким образом, расстояние между прямыми CC1 и B1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1 составляет примерно 0.707 (или √0.5) длины ребра куба.