Question

ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, AD=1, DC=2, CC1=3. Найдите угол α между прямыми A1D и D1C. Найдите угол β между прямыми B1D и AC. Может ли угол между прямыми D1X1 (точка X1 лежит на ребре B1 C1) и AC равняться 30°? Получил травму, попустил месяц учебы, вот задали первую домашнюю работу, не могу решить. Спасибо!

Answer 1

Искомые углы -- углы между скрещивающимися прямыми)))
чтобы построить такой угол, нужно построить прямые, параллельные рассматриваемым прямым и лежащие в одной плоскости)))
применить удобнее теорему косинусов...
Ответ на третий вопрос: ДА.
Крайние положения для точки Х1 -- это точки В1 и С1
и значение косинуса 30 градусов лежит между косинусами углов A1OD1
(О -- точка пересечения диагоналей основания), A1C1D1 
(в первой четверти косинус убывает с увеличением угла...
если точка Х1 движется от точки С1 к В1,
рассматриваемый угол увеличивается)))

Answer 2

В задаче надо находить углы между скрещивающимися прямыми. Применим способ параллель ного переноса: делаем перенос одной из скрещивающихся прямых(или сразу двух) так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. А потом находим угол между двумя прямыми на плоскости. 
Так как у прямоугольного параллелепипеда все грани -прямоугольники, то   АD=BC=A1D1=D1C1=1, DC=AB=A1B1-=D1C1=2, CC1=DD1=AA1=BB1=3.Также нам нужны будут диагонали граней:
А1D=АD1 - диагонали прямоугольника АА1D1D . 
По т.Пифагора найдем А1D=√3²+1²=√10, А1D=В1C=BC1/
D1C=DC1 - диагонали прямоугольника СС1D1D. 
По т.Пифагора найдем D1С=√3²+2²=√13.  D1C=А1В=AB1.
B1D1=A1C1 - диагонали прямоугольника A1B1C1D1. 
По т.Пифагора найдем B1D1=√1²+2²=√5. B1D1=BD=AC
1. Найдем угол α между прямыми A1D и D1C
Проведём D1C || A1D. Угол между прямыми A1D и D1C есть угол между прямыми D1C и B1C (то есть угол D1CB1=α).
По теореме косинусов В1D1²=D1С²+В1С²-2*D1С*В1С*cos α.
cos α=(13+10-5)/2*√13*√10=9/√130≈0,7893. Угол α≈38°
2.  Найдите угол β между прямыми B1D и AC
Проведём В1Е1 || AС. Угол между прямыми В1Е1 и В1D есть угол между прямыми В1D и АC (то есть угол DB1Е1=β ).
В1Е1=АС=√5
В1D=√BB1²+BD²=√3²+5=√14
DE1 -диагональ прямоугольника DD1E1E со сторонами D1Е1=2DC=4 и DD1=3.
DЕ1=√DD1²+D1E1²=√3²+4²=√25=5
По теореме косинусов D1E1²=B1D²+В1E1²-2*B1D*В1E1*cos β.
cos β=(14+5-25)/2*√14*√5=-3/ √70≈-0,3586. Угол β≈111°

Answer 3

Для решения данной задачи нам необходимо изобразить данную конструкцию на рисунке и применить знания о геометрических свойствах прямоугольных параллелепипедов.

Изобразим данную конструкцию на рисунке:

cssCopy code
A1------B1
|\      /|
| C1---D1|
| |    | |
| |    | |
| D----C |
|/     \ |
A-------B

Из свойств прямоугольных параллелепипедов следует, что:

1. Стенки прямоугольного параллелепипеда взаимно перпендикулярны.

2. Диагонали граней параллелепипеда равны.

3. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

4. Все рёбра прямоугольного параллелепипеда равны.

5. Центры противоположных граней параллелепипеда соединены диагоналями.

Таким образом, мы можем найти значения углов α и β, а также ответить на последний вопрос.

1. Найдем угол α между прямыми A1D и D1C:

Из свойства №1 следует, что стенки AD и DC1 параллельны плоскости B1C1D1A1. Также из свойства №2 следует, что треугольник A1D1C1 равнобедренный и AD1 = D1C1 = √(1^2+3^2) = √10. Значит, угол α между прямыми A1D и D1C равен углу, образованному диагональю A1C1 и стенкой DC1:

cos α = DC1 / A1C1 = 3 / √(1^2+3^2) = 3 / √10 α = arccos (3 / √10) ≈ 21.8°

2. Найдем угол β между прямыми B1D и AC:

Из свойства №1 следует, что стенки B1D и AC параллельны плоскости B1C1D1A1. Также из свойства №3 следует, что треугольник ABC прямоугольный, причем AB = √(1^2+2^2+3^2) = √14. Значит, угол β между прямыми B1D и AC равен углу, образованному диагональю AB и стенкой BD:

cos β = BD / AB = 1 / √14 β = arccos (1 / √14) ≈ 75.5°