Question

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная α, касается меньшего шара, а площадь сечения большего шара этой плоскостью равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Answer 1

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная α, касается меньшего шара, а площадь сечения большего шара этой плоскостью равна 5.(бедные дети) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Объяснение:

Рассмотрим сечение данной комбинации тел и плоскостей , проходящее через диаметры шаров и перпендикулярно секущим плоскостям α и β. Пусть радиусы большого шара R ,малого шара r.  

S(кр)=πr² ,     S(крАС)=5  ⇒ АС=√5/π,       S(крКВ)=7  ⇒ КВ=√7/π.

В  сечении большего шара плоскостью α получаем круг с радиусом КМ ,  S(КМ)= π* КМ² .

ΔМКО-прямоугольный , R²= КМ²+КО² (1)

ΔВКО-прямоугольный , r²= КВ²+КО² (2).     Вычтем из (1) уравнения (2).

                                     R²-r²=КМ²-КВ²  (3).

ΔАСО-прямоугольный , ОА²=СО²+АС² или R²=r²+АС²  или

                                       R²- r²= АС² подставим в (3).

АС²=КМ²-КВ²  или  КМ²=АС²+КВ²

                                КМ²=(√5/π)²+(√7/π)²=12/π

S(КМ)= π* КМ²=π*12/π=12 (ед²).

Answer 2

Обозначим радиус меньшего шара как $r$ и радиус большего шара как $R$.

Поскольку плоскость $\alpha$ пересекает меньший шар, площадь сечения этой плоскостью равна 7. Это сечение имеет форму круга с радиусом, равным радиусу меньшего шара $r$. Таким образом, мы имеем уравнение для площади круга:

$S_{\text{маленького круга}} = \pi r^2 = 7$

Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ и касается меньшего шара. Следовательно, она проходит через центр меньшего шара и, следовательно, также центра большего шара. Это означает, что сечение большего шара плоскостью $\beta$ также будет кругом радиусом $r$, так как радиус меньшего и большего шаров совпадает в данном случае. Таким образом, площадь сечения большего шара плоскостью $\beta$ равна:

$S_{\text{большого круга}} = \pi r^2$

Мы также знаем, что площадь сечения большего шара плоскостью $\beta$ равна 5. Поэтому:

$\pi r^2 = 5$

Отсюда можно выразить $r^2$ как $r^2 = \frac{5}{\pi}$, и вставить это значение обратно в уравнение для площади сечения большего шара:

$S_{\text{большого круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot \frac{5}{\pi} = 5$

Таким образом, площадь сечения большего шара плоскостью $\alpha$ также равна 5.