Question

5 ТЕКСТ ЗАДАНИЯДаны векторыт = -4i + 3j, n = 12i + 5јић – ні + 9ај.а) найди косинус угла между векторамитиі;b) найди Значение а, если векторытийКоллинеарны;с) найди значение а, если векторыñnkперпендикулярны.​

Answer 1

$\overline{m}=-4i+3j\ \ ,\ \ \overline{n}=12i+5j\ \ ,\ \ \overline{k}=-i+9aj\\\\a)\ \ cos\alpha =\dfrac{\overline{m}\cdot \overline{n}}{|\overline{m}|\cdot |\overline{n}|}=\dfrac{-4\cdot 12+3\cdot 5}{\sqrt{16+9}\cdot \sqrt{144+25}}=\dfrac{-33}{5\cdot 13}=-\dfrac{33}{65}\\\\\\b)\ \ \overline{m}\parallel \overline{k}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{-4}{-1}=\dfrac{3}{9a}\ \ ,\ \ 9a=\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ a=\dfrac{3}{4\cdot 9}\ \ ,\ \ a=\dfrac{1}{12}$

$c)\ \ \overline{n}\perp \overline{k}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \overline{n}\cdot \overline{k}=0\\\\\overline{n}\cdot \overline{k}=12\cdot (-1)+5\cdot 9a=0\ \ ,\ \ 45a=12\ \ ,\ \ a=\dfrac{12}{45}\ \ ,\ \ \ a=\dfrac{4}{15}$

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся следующие шаги:

Дано:

• Вектор t = -4i + 3j
• Вектор n = 12i + 5j - n + 9a

a) Найдем косинус угла между векторами t и n: Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью следующей формулы:

$\cos(\theta) = \frac{t \cdot n}{\|t\| \cdot \|n\|}$

где $t \cdot n$ - скалярное произведение векторов, а $\|t\|$ и $\|n\|$ - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение $t \cdot n$:

$t \cdot n = (-4i + 3j) \cdot (12i + 5j - n + 9a)$ $t \cdot n = -48 + 15 - 12n + 27a$

Далее, найдем длины векторов:

Длина вектора t: $\|t\| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$

Длина вектора n: $\|n\| = \sqrt{12^2 + 5^2 + (-1)^2 + 9^2} = \sqrt{235}$

Теперь можем найти косинус угла $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{-48 + 15 - 12n + 27a}{5 \cdot \sqrt{235}}$

b) Если векторы t и n коллинеарны, то они параллельны друг другу. Для того чтобы векторы были коллинеарны, они должны быть пропорциональными. То есть:

$t = k \cdot n$

где k - коэффициент пропорциональности.

Сравнивая соответствующие компоненты векторов t и n, получим систему уравнений:

$-4 = 12k$ $3 = 5k$ $-12 = -nk$ $0 = 9ak$

Первые два уравнения дают нам $k = -\frac{1}{3}$, третье уравнение дает $n = 36k = -12$, а четвертое уравнение говорит нам, что $a$ может быть любым действительным числом.

c) Если векторы t и n перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$t \cdot n = 0$ $-48 + 15 - 12n + 27a = 0$ $27a = 12n - 15 + 48$ $a = \frac{12n + 33}{27}$

Подставляя значение $n = -12$, получаем:

$a = \frac{12 \cdot (-12) + 33}{27} = -\frac{7}{3}$

Таким образом, получаем: a) Косинус угла между векторами t и n: $\cos(\theta) = \frac{-48 + 15 - 12n + 27a}{5 \cdot \sqrt{235}}$ b) Значение a, если векторы t и n коллинеарны: $a$ может быть любым действительным числом. c) Значение a, если векторы t и n перпендикулярны: $a = -\frac{7}{3}$.