Question

даны векторы m(1;2),n(4;3),k(-3;x).найдите.а)косинус угла между векторами m,n. b)число x, если векторы m и k коллинеарны. с) число x, если векторы n и k перпендикулярны.

Answer 1

$\overline{m}=(1,2)\ \ ,\ \ \overline{n}=(4,3)\ \ ,\ \ \overline{k}=(-3,x)\\\\a)\ \ cos\alpha =\dfrac{\overline{m}\cdot \overline{n}}{|\overline{m}|\cdot |\overline{n}|}=\dfrac{1\cdot 4+2\cdot 3}{\sqrt{1+4}\cdot \sqrt{16+9}}=\dfrac{10}{5\cdot \sqrt5}=\dfrac{2}{\sqrt5}\\\\\\b)\ \ \overline{m}\parallel \overline{k}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ ,\ \ \dfrac{1}{-3}=\dfrac{2}{x}\ \ ,\ \ x=\dfrac{-3\cdot 2}{1}\ \ ,\ \ x=-6$

$c)\ \ \overline{n}\perp \overline{k}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \overline{n}\cdot \overline{k}=0\\\\\overline{n}\cdot \overline{k}=4\cdot (-3)+2\cdot x=0\ \ ,\ \ 2x=12\ \ ,\ \ x=6$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:

а) Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью формулы:

$\cos(\theta) = \frac{m \cdot n}{\|m\| \|n\|},$

где $\theta$ - угол между векторами, $\cdot$ обозначает скалярное произведение, $\|m\|$ и $\|n\|$ - длины векторов m и n соответственно.

Длины векторов можно найти по формуле $\|v\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, где $v_x$ и $v_y$ - компоненты вектора по осям x и y соответственно.

Для векторов m(1;2) и n(4;3):

$\|m\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$,

$\|n\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Скалярное произведение векторов m и n:

$m \cdot n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10$.

Теперь можно найти косинус угла:

$\cos(\theta) = \frac{m \cdot n}{\|m\| \|n\|} = \frac{10}{\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{2}{\sqrt{5}}.$

б) Векторы m(1;2) и k(-3;x) коллинеарны, если они сонаправлены или противоположно направлены. Это означает, что они пропорциональны друг другу:

$\frac{m_x}{k_x} = \frac{m_y}{k_y}$.

Подставляя значения:

$\frac{1}{-3} = \frac{2}{x}$.

Из этого уравнения можно найти значение x:

$-\frac{1}{3} = \frac{2}{x} \Rightarrow x = -6$.

в) Векторы n(4;3) и k(-3;x) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

$n \cdot k = 4 \cdot -3 + 3 \cdot x = -12 + 3x$.

Так как n и k перпендикулярны, то $n \cdot k = 0$:

$-12 + 3x = 0 \Rightarrow x = 4$.

Итак, ответы: а) Косинус угла между векторами m и n: $\frac{2}{\sqrt{5}}$. б) Число x, если векторы m и k коллинеарны: -6. в) Число x, если векторы n и k перпендикулярны: 4.