Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD всё ребра равны 1. Найдите площадь ортогональной проекции пирамиды на плоскость боковой грани SAB (с рисунком, пожалуйста)​

Answer 1

Находим апофему: А = a*cos30° = 1*√3/2 = √3/2.

Косинус угла наклона боковой грани равен:

cos α = (a/2)/A = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3.

Проекция ребра основания на плоскость SAB равна a*cosα = √3/3.

Боковая грань спроецируется в треугольник высотой h.

h = A - a*cosα = (√3/2) - (√3/3) = √3/6.

Проекция основания So = 1*(√3/3) = √3/3.

Площадь проекции боковой грани Sбок = (1/2)ah = (1/2)*1*√3/6 = √3/12.

Ответ: S = (√3/3) + (√3/12) = 5√3/12.

Answer 2

Для нахождения площади ортогональной проекции пирамиды на плоскость боковой грани SAB, мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Найдем высоту пирамиды, опущенную на плоскость SAB. Это будет отрезок, соединяющий вершину D (вершину пирамиды) с плоскостью SAB.

2. Рассмотрим треугольник SAB, который образуется плоскостью SAB. Этот треугольник прямоугольный, так как он образован боковой гранью пирамиды. Также, мы знаем, что все ребра пирамиды равны 1, поэтому стороны треугольника SAB также равны 1.

3. По теореме Пифагора в треугольнике SAB, можно найти высоту, которая является катетом. Пусть высота пирамиды, опущенная на плоскость SAB, равна h.

   Из теоремы Пифагора: h^2 + (AB)^2 = (SA)^2

   Поскольку (AB) = 1 и (SA) = 1, то:

   h^2 + 1 = 1

   h^2 = 0

   h = 0

   Таким образом, высота пирамиды, опущенная на плоскость SAB, равна 0.

4. Поскольку высота равна 0, то ортогональная проекция пирамиды на плоскость SAB будет точно совпадать с плоскостью SAB. Площадь этой проекции равна площади треугольника SAB.

5. Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

   Площадь треугольника SAB = (1/2) * AB * SA = (1/2) * 1 * 1 = 1/2

Итак, площадь ортогональной проекции пирамиды на плоскость боковой грани SAB равна 1/2.