Question

1. Решите квадратное неравенство, используя график квадратичной функции: 4x² + 4x + 120 Ответ: 2. Решите неравенство методом интервалов: a) (x-2)(x+6)<0 б) (x-7)(x+8)>0 Ответ: 3. Найдите область определения функции: f(x)=√10-х 4. Решите уравнения: √5x+1 = 6 Ответ: 5. Решите неравенство: √5x + 11>x+3

Answer 1

1. Решение квадратного неравенства с использованием графика квадратичной функции:

Для решения квадратного неравенства `4x² + 4x + 120` нужно сначала построить график соответствующей квадратичной функции `y = 4x² + 4x + 120`. Затем мы будем искать значения `x`, при которых функция `y` будет меньше нуля.

Построим график функции `y = 4x² + 4x + 120`:


На графике видно, что парабола открывается вверх и полностью находится выше оси `x`. Это означает, что функция `y` всегда больше или равна нулю, и нет решений для неравенства `4x² + 4x + 120 < 0`.

Ответ: Нет решений для данного неравенства.

2. Решение неравенств методом интервалов:

а) `(x-2)(x+6) < 0`

Для решения данного неравенства методом интервалов, нужно найти значения `x`, при которых `(x-2)(x+6)` будет меньше нуля.

Для этого мы можем использовать таблицу знаков. Разделим интервалы на основе корней уравнения `(x-2)(x+6) = 0`:

       -6   2
       |    |
-------+----+-------
       |    |
       -    +

Из таблицы знаков видно, что неравенство `(x-2)(x+6) < 0` выполняется на интервалах `(-∞, -6) ∪ (2, +∞)`.

Ответ: Решение неравенства (x-2)(x+6) < 0: x ∈ (-∞, -6) ∪ (2, +∞).

б) `(x-7)(x+8) > 0`

Для решения данного неравенства методом интервалов, нужно найти значения `x`, при которых `(x-7)(x+8)` будет больше нуля.

Опять же, мы можем использовать таблицу знаков, разделив интервалы на основе корней уравнения `(x-7)(x+8) = 0`:

       -8   7
       |    |
-------+----+-------
       -    +
       |    |

Из таблицы знаков видно, что неравенство `(x-7)(x+8) > 0` выполняется на интервалах `(-8, 7)`.

Ответ: Решение неравенства (x-7)(x+8) > 0: x ∈ (-8, 7).

3. Найдите область определения функции:

Для того чтобы найти область определения функции `f(x) = √(10-x)`, нужно решить неравенство `10-x ≥ 0`, так как функция определена только для значений `x`, при которых радикал неотрицательный.

Решим неравенство:

10 - x ≥ 0

Вычитаем 10 из обеих частей:

-x ≥ -10

Умножаем обе части на -1 и меняем направление неравенства:

x ≤ 10

Таким образом, область определения функции `f(x) = √(10-x)` - это все значения `x`, которые меньше или равны 10.

Ответ: Область определения функции f(x) = √(10-x): x ≤ 10.

4. Решение уравнения:

Для решения уравнения `√(5x + 1) = 6`, нужно изолировать переменную `x` на одной стороне уравнения.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(√(5x + 1))^2 = 6^2
5x + 1 = 36

Вычитаем 1 из обеих частей:

5x = 35

Делим обе части на 5:

x = 7

Таким образом, решением уравнения `√(5x + 1) = 6` является `x = 7`.

Ответ: Решение уравнения √(5x + 1) = 6: x = 7.

5. Решение неравенства:

Для решения неравенства `√(5x) + 11 > x + 3`, нужно изолировать переменную `x` на одной стороне неравенства.

Вычитаем 11 из обеих частей:

√(5x) > x - 8

Возводим обе части неравенства в квадрат (допустим, что `x ≥ 0`, чтобы избежать комплексных чисел):

5x > (x - 8)^2
5x > x^2 - 16x + 64

Переносим все члены в одну сторону и получаем квадратное неравенство:

x^2 - 21x + 64 > 0

Для решения этого квадратного неравенства можно использовать метод интервалов или график.

Решение квадратного неравенства `x^2 - 21x + 64 > 0`:

       8   13
       |    |
-------+----+-------
       -    +
       |    |

Из таблицы знаков видно, что неравенство `x^2 - 21x + 64 > 0` выполняется на интервалах `(8, 13)`.

Ответ: Решение неравенства √(5x) + 11 > x + 3: x ∈ (8, 13).