Question

Решите уравнения: 4^x- 14*2^x -32=0 = 9∧√x-5 - 27=6*3∧√x-5

Answer 1

1)

$4^x - 14\cdot 2^x - 32 = 0\\\\(2^2)^x - 14\cdot 2^x - 32 = 0\\\\(2^x)^2 - 14\cdot 2^x - 32 = 0$

Введём замену:  $t = 2^x\ , t>0\ .$

$t^2 - 14t - 32 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_{1}t_{2} = -32\\t_{1} + t_{2} = 14\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big|\ \boxed{t = 16; t = -2}$.

Но так как $t > 0$ , то -2 не является решением этого уравнения. Выполняем обратную замену:

$2^x = 16\\2^x = 2^4\\\\\boxed{\textbf{x = 4}}$

Ответ: 4.

2)

$4^{x-3} = 32^x\\\\(2^2)^{x-3} = (2^5)^x\\\\2^{2(x-3)} = 2^{5x}\\\\2(x-3) = 5x\\\\2x - 6 - 5x = 0\\\\-3x = 6\\\\\boxed{\textbf{x = -2}}$

Ответ: -2.

3)

$5^{2x} - 4\cdot 5^x - 5 = 0\\\\(5^x)^2 - 4\cdot 5^x - 5 = 0$

Введём замену: $t = 5^x\ ,\ t > 0.$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_{1}t_{2} = -5\\t_{1}+t_{2} = 4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big|\ \boxed{t = 5; t = -1}$

Но так как $t > 0$ , то -1 не является решением этого уравнения. Выполняем обратную замену:

$5^x = 5\\\\\boxed{\textbf{x = 1}}$

Ответ: 1.

4)

$5^{x+2} + 11\cdot 5^x = 180\\\\5^x \cdot 5^2 + 11\cdot 5^x = 180\\\\5^x(25+11) = 180\\\\5^x\cdot 36 = 180\ \ \ \Big| :36\\\\5^x = 5\\\\\boxed{\textbf{x = 1}}$

Ответ: 1.

5)

$9^{\sqrt{x-5}} - 27 = 6\cdot 3^{\sqrt{x-5}}$

Для начала кое-что учтём: подкоренное выражение всегда неотрицательно. То есть:

$x - 5 \geq 0\\x \geq 5$

Продолжаем решение:

$(3^2)^{\sqrt{x-5}} - 6\cdot 3^{\sqrt{x-5}} - 27 = 0\\\\(3^{\sqrt{x-5}})^2 - 6\cdot 3^{\sqrt{x-5}} - 27 = 0$

Введём замену: $t = 3^{\sqrt{x-5}}\ ,\ t>0.$

$t^2 - 6t - 27 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_{1}t_{2} = -27\\t_{1}+t_{2} = 6\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big|\ \boxed{t = 9; t = -3}$

Но так как $t > 0$ , то -3 не является решением этого уравнения. Выполняем обратную замену:

$3^{\sqrt{x-5}} = 9\\\\3^{\sqrt{x-5}} = 3^2\\\\\sqrt{x-5} = 2\\\\x - 5 = 4\\\\\boxed{\textbf{x = 9}}$

Ответ: 9.

Answer 2

Для решения уравнений, давайте начнем с первого уравнения:

Уравнение 1: 4^x - 14 * 2^x - 32 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем заметить, что оба члена уравнения содержат степени. Давайте заменим 4^x на (2^2)^x, чтобы упростить уравнение:

(2^2)^x - 14 * 2^x - 32 = 0

Теперь мы можем использовать свойства степеней, чтобы объединить 2^x и (2^2)^x:

2^(2x) - 14 * 2^x - 32 = 0

Теперь давайте сделаем замену, чтобы упростить это уравнение. Обозначим y = 2^x. Тогда уравнение примет следующий вид:

y^2 - 14y - 32 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, квадратного трехчлена или квадратного корня. Воспользуемся факторизацией:

(y - 16)(y + 2) = 0

Теперь мы можем решить два уравнения:

y - 16 = 0 или y + 2 = 0

Решение первого уравнения:

y - 16 = 0 2^x - 16 = 0 2^x = 16 x = log2(16) x = 4

Решение второго уравнения:

y + 2 = 0 2^x + 2 = 0 Это уравнение не имеет решений, так как 2^x всегда положительно.

Таким образом, решение первого уравнения 4^x - 14 * 2^x - 32 = 0 является x = 4.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

Уравнение 2: 9√x - 5 + 27 = 6 * 3√x - 5

Давайте разложим корни на более простые выражения:

3√x = (x^(1/3))^3 = x 9√x = (x^(1/3))^3 * 3 = 3x

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

3x - 5 + 27 = 6x - 30

Теперь решим это уравнение:

3x + 22 = 6x - 30 52 = 3x x = 52/3

Таким образом, решение второго уравнения 9√x - 5 + 27 = 6 * 3√x - 5 является x = 52/3.

Надеюсь, это реш