Question

Найдите все значения a при каждом из которых уравнение 2x²-3x-20/x-a=0 имеет единственное решение

Answer 1

$\frac{2 {x}^{2} - 3x - 20}{x - a} = 0$

Дробь равна нулю,когда числитель равен нулю,а знаменатель не равен

1) 2x²-3x-20 = 0

D = (-3)²-4*2*(-20) = 9+160 = 169 = 13²

$x1 = \frac{3 + 13}{2 \times 2} = \frac{16}{4} = 4$

$x2 = \frac{3 - 13}{2 \times 2} = - \frac{10}{4} = - 2.5$

Получается уравнение в числителе имеет 2 решения

Чтобы дробь имела одно решение,нужно чтобы а равнялось либо 4, либо -2,5,тогда

$\frac{2 {x}^{2} - 3x - 20}{x - a} = 0 < = > \frac{2(x - 4)(x + 2.5)}{(x - 4)} = 0 < = > 2x + 5 = 0 < = > x = - 2.5$

или

$\frac{2 {x}^{2} - 3x - 20}{x - a} = 0 < = > \frac{2(x - 4)(x + 2.5)}{(x + 2.5)} = 0 < = > 2x - 8= 0 < = > x = 4$

Ответ: а = -2,5 ; а = 4

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель не равнялся нулю и чтобы числитель был равен нулю при этом значении знаменателя.

Знаменатель уравнения равен x - a. Чтобы избежать деления на ноль, необходимо, чтобы x не равнялся a.

Числитель уравнения равен 2x² - 3x - 20. Чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы этот числитель был равен нулю при любом значении x, за исключением x = a.

Решим уравнение 2x² - 3x - 20 = 0:

D = (-3)² - 4 * 2 * (-20) = 9 + 160 = 169.

x₁ = (-(-3) + √169) / (2 * 2) = (3 + 13) / 4 = 16 / 4 = 4.

x₂ = (-(-3) - √169) / (2 * 2) = (3 - 13) / 4 = -10 / 4 = -5/2.

Таким образом, уравнение имеет два решения: x₁ = 4 и x₂ = -5/2.

Значения a, при которых уравнение 2x² - 3x - 20 / (x - a) = 0 имеет единственное решение, будут все значения, за исключением 4 и -5/2.

То есть, a ≠ 4 и a ≠ -5/2.