Question

Задачи на исследование квадратичной функции 1. При каких значениях k уравнение имеет единственное решение? Kx²-x+3=0 2. При каких значениях а уравнение 2x²-(a-1)х+(a+3)=0 имеет: - единственное решение -хотя бы одно решение -не имеет решений? 3. При каких k уравнение (k-2)x²+(4-2k)x+3=0 имеет единственное решение?

Answer 1

1: при К равном -1

2: не имеет решений

3: при К равном 5

Answer 2

Для исследования квадратичных функций и определения условий, при которых уравнения имеют единственное решение или другое количество решений, нужно рассмотреть дискриминант и коэффициенты квадратного уравнения. Для уравнения вида ax²+bx+c=0, дискриминант вычисляется как D = b² - 4ac.

1. Уравнение Kx² - x + 3 = 0: Для того чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю, т.е. D = 0. D = (-1)² - 4 * K * 3 D = 1 - 12K

Таким образом, условие для единственного решения: 1 - 12K = 0 Решим уравнение: 12K = 1 K = 1/12

Ответ: Уравнение имеет единственное решение при K = 1/12.

2. Уравнение 2x² - (a - 1)x + (a + 3) = 0: Для определения количества решений рассмотрим значения дискриминанта.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

Дискриминант D = (-a + 1)² - 4 * 2 * (a + 3) D = a² - 2a + 1 - 8a - 24 D = a² - 10a - 23

Теперь рассмотрим различные случаи:

a) Уравнение имеет единственное решение: D = 0 a² - 10a - 23 = 0 Решим уравнение: a = (10 ± √(10² + 4 * 23)) / 2 a = (10 ± √(100 + 92)) / 2 a = (10 ± √192) / 2 a = (10 ± 4√3) / 2 a = 5 ± 2√3

Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a = 5 + 2√3 или a = 5 - 2√3.

б) Уравнение имеет хотя бы одно решение: D > 0 a² - 10a - 23 > 0 Решим неравенство: a < 5 - 2√3 или a > 5 + 2√3

Ответ: Уравнение имеет хотя бы одно решение при a < 5 - 2√3 или a > 5 + 2√3.

в) Уравнение не имеет решений: D < 0 a² - 10a - 23 < 0 Решим неравенство: 5 - 2√3 < a < 5 + 2√3

Ответ: Уравнение не имеет решений при 5 - 2√3 < a < 5 + 2√3.

3. Уравнение (k - 2)x² + (4 - 2k)x + 3 = 0: Для единственного решения, дискриминант должен быть равен нулю, т.е. D = 0. D = (4 - 2k)² - 4 * (k - 2) * 3 D = 16 - 16k + 4k² - 12k + 24 D = 4k² - 28k + 40

Таким образом, условие для единственного решения: 4k² - 28k + 40 = 0 Решим уравнение: k² - 7k + 10 = 0 (k - 5)(k - 2) = 0

Ответ: Уравнение имеет единственное решение при k = 5 или k = 2.