Question

докажите, что функция y=-x^2-16x+3 возрастает на промежутке (-бесконечность;-8] и убывает на промежутке [-8;+бесконечность)​

Answer 1

Возьмем две точки $x_1$, $x_2$, причем $x_1$.

Им соответствуют значения функции $y_1=-x_1^2-16x_1+3$ и $y_2=-x_2^2-16x_2+3$.

Сравним значения функций в данных точках. Для этого достаточно посмотреть на знак их разности $y_2-y_1$: если он положительный, то $y_2>y_1$; если равен нулю, то значения равны; иначе $y_1$.

$y_2-y_1=(-x_2^2-16x_2+3)-(-x_1^2-16x_1+3)=\\=(x_1^2-x_2^2)+16(x_1-x_2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2)+16(x_1-x_2)=\\=(x_1+x_2+16)(x_1-x_2)$

По предположению, $x_1$, поэтому вторая скобка отрицательна.

• Если  $x_1$, то сумма $x_1+x_2$ меньше -16, тогда первая скобка тоже отрицательна, а всё произведение положительно и $y_2>y_1.$ Получили, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, тогда на отрезке $(-\infty,-8]$ функция возрастает.
• Аналогично, для $-8\leqslant x_1$ произведение отрицательно. Здесь большему значению аргумента соответствует меньшее значение значение функции, по определению это значит, что функция убывает.

Answer 2

Ответ: доказано

Объяснение:

если через производную, то она равна -2х-16, находим критическую точку -2х-16=0, х=8

с помощью неравенства 2х-16≥0 устанавливаем знак производной  при переходе через критическую точку

____________-8_________

+                                 -

значит, функция возрастает на промежутке (-∞;-8] и убывает на промежутке [-8;+∞)​

Кстати, этот же результат получим, решив вторым способом.

вершина параболы имеет абсциссу х₀=-b/2a=16/(-2)=-8, т.к. ее ветви направлены вниз, то функция возрастает на промежутке (-∞;-8] и убывает на промежутке [-8;+∞)​

Answer 3

Для доказательства возрастания или убывания функции на заданном промежутке необходимо проанализировать производную функции на этом промежутке.

Для данной функции y = -x^2 - 16x + 3 найдем ее производную:

y' = (-1)(2x) - 16 = -2x - 16

Теперь проанализируем знак производной на заданных промежутках.

На промежутке (-бесконечность, -8] значение x меньше -8, поэтому подставим в производную значение x = -9:

y' = -2(-9) - 16 = 18 - 16 = 2

Значение производной положительно (2 > 0), следовательно, функция возрастает на промежутке (-бесконечность, -8].

На промежутке [-8, +бесконечность) значение x больше или равно -8. Подставим в производную значение x = -7:

y' = -2(-7) - 16 = 14 - 16 = -2

Значение производной отрицательно (-2 < 0), следовательно, функция убывает на промежутке [-8, +бесконечность).

Таким образом, функция y = -x^2 - 16x + 3 возрастает на промежутке (-бесконечность, -8] и убывает на промежутке [-8, +бесконечность).