Question

Докажите, что функция у=f(x):а)у=x^3-4 на промежутке (-бесконечность; 0] убываетб)у=x^2+1 на промежутке [0; +бесконечность) возрастаетв)у=-5x^3-4 убывает в множестве Rг)у=3x^2+(1/4) возрастает на множестве R

Answer 1

А)
$y'=3x^2\\3x^2\leq0$
Неравенство имеет только одно решение х = 0, функция неубывающая на всей числовой прямой. Возможно, Вы неверно записали условие?

б)
$y'=2x\\2x\geq0=>x\geq0$
При всех х >= 0 функция возрастает.

в)
$y'=-15x^2\\-15x^2\leq0\\x^2\geq0$
Неравенство выполняется при любых х.

г)
$y'=6x;6x\geq0\\x\geq0$
Функция возрастает только при х >= 0.

Answer 2

а) Для доказательства того, что функция у=x^3-4 на промежутке (-бесконечность; 0] убывает, найдем производную этой функции. Производная функции у=x^3-4 равна 3x^2. Так как производная положительна на отрезке (-бесконечность; 0), то функция убывает на этом промежутке.

б) Для доказательства того, что функция у=x^2+1 на промежутке [0; +бесконечность) возрастает, также найдем производную этой функции. Производная функции у=x^2+1 равна 2x. Так как производная положительна на отрезке [0; +бесконечность), то функция возрастает на этом промежутке.

в) Функция у=-5x^3-4 убывает на множестве R, так как коэффициент перед x^3 отрицательный.

г) Функция у=3x^2+(1/4) возрастает на множестве R, так как коэффициент перед x^2 положительный.

Таким образом, мы доказали изменение функций на указанных промежутках и множестве.