Question

Знайдіть діаметр кола , якщо пряма а є дотичною до нього , M - точка дотику , OK = 24 см та утворуэ з дотичною кут 30

Answer 1

Катет ОМ, перпендикулярный прямой а и лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы ОК.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість прямих, що перетинають коло і є дотичними до нього. Згідно з цією властивістю, промінь, проведений від центру кола до точки дотику, перпендикулярний до дотичної.

Означимо: - \( O \) - центр кола, - \( M \) - точка дотику, - \( OK \) - радіус кола, який є перпендикулярним до дотичної прямої, - \( OD \) - діаметр кола (промінь, який проходить через центр кола).

Також нам відомо, що \( OK = 24 \, \text{см} \) і кут \( KOM = 30^\circ \).

З означень випливає, що кут \( KOD \) також \( 30^\circ \), оскільки промінь \( OK \) є перпендикулярним до дотичної прямої, і вони утворюють прямий кут.

Тепер можемо використовувати трикутник \( KOD \) для розв'язання задачі.

Застосуємо тригонометричні відношення в прямокутному трикутнику:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{KO}{KD} \]

Знаючи, що \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) (це можна отримати з трикутника 30-60-90), можемо підставити це значення:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{24}{KD} \]

Помножимо обидві сторони на \( KD \):

\[ KD = \frac{24}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \]

Спростимо вираз:

\[ KD = 24 \cdot \sqrt{3} \, \text{см} \]

Однак \( KD \) - це половина діаметра кола. Таким чином, діаметр кола \( OD \) дорівнює \( 2 \cdot KD \):

\[ OD = 2 \cdot 24 \cdot \sqrt{3} \, \text{см} \]

Отже, діаметр кола \( OD \) дорівнює \( 48 \cdot \sqrt{3} \, \text{см} \). Це є точний вираз для діаметра кола в залежності від величини радіуса \( OK \) та кута \( KOM \).