Question

Доведіть, що пряма у - x = 3 є дотичною до кола (х + 5)2 + + y2 = 2, i знайдіть координати точки дотику.

Answer 1

Щоб довести, що пряма \(x = 3\) є дотичною до кола з рівнянням \((x + 5)^2 + y^2 = 2\), спочатку визначимо координати точки дотику.

1. Знаходження похідних: Спочатку знайдемо похідні від обох боків рівняння кола.

Рівняння кола: \((x + 5)^2 + y^2 = 2\)

Знайдемо похідні за \(x\): \[ \frac{d}{dx}((x + 5)^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(2) \]

Розгортаємо та диференціюємо: \[ 2(x + 5) + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]

Виразимо \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x + 5}{y} \]

2. Знаходження координат точки дотику: Точка дотику між прямою і колом визначається як місце, де їхні графіки мають спільні координати. Таким чином, рівняння прямої \(x = 3\) та рівняння кола повинні мати однакові значення \(x\) і \(y\).

Підставимо \(x = 3\) у обидва рівняння та вирішимо для \(y\):

Для прямої \(x = 3\): \[ x = 3 \]

Для кола \((x + 5)^2 + y^2 = 2\): \[ (3 + 5)^2 + y^2 = 2 \]

Розв'яжемо для \(y\): \[ 64 + y^2 = 2 \implies y^2 = -62 \]

Однак \(y^2\) не може бути від'ємним числом, отже, точки дотику між прямою \(x = 3\) і колом не існує на рівні \(x = 3\). Можливо, виникла помилка в формулюванні або задачі.