Question

Найдите производные функции: 1) f(x) = e^x/Inx 2) f(x) = x•e^x + 15 3) f(x) = 7^x/x^5 4) f(x) = 10x • e^x + 4x^2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) f(x) =u(x)/v(x) =>  f'(x)=  (u' (x)*v(x)-v '(x)*u(x))/ v²(x)

u(x)=$e^x v(x)=ln(x) = > u' (x) = e^x v'(x)= 1/x$

=>f(x)=($e^x$· lnx - $e^x$/x) /( ln x)² =(x·$e^x$·ln x - $e^x)$/(x· (ln x)²)

2) f(x) = u(x)·v(x)+ C    => f'(x) = u '(x)·v(x)+u(x)·v '(x) +0

u(x)= x   => u'(x)=1   v(x)= $e^x = > v' (x)= e^x$

=> f'(x) = $e^x+x*e^x$

3) f(x)= $7^x/x^5 = 7^x*x^-^5$

f(x)=u(x)·v(x) =>  f'(x) = u '(x)·v(x)+u(x)·v '(x)

u(x)=$7^x = > u'(x)= 7^x*ln7$    v(x)= x$^-^5 = > v'(x)= -5*x^-^6$

f'(x) = $7^x*lnx*x^-^5 -5*x^-^6*7^x$

4) f(x)= u(x)·v(x) +g(x) =>  f'(x) = u '(x)·v(x)+u(x)·v '(x) +g'(x)

u(x)=10x =>  u'(x)=10   v(x)=$e^x = > v'(x)=e^x$    g(x)=4x²     g'(x)=8x

f'(x) = 10·$e^x +10x*e^x +8x$

Answer 2

1) Для нахождения производной функции f(x) = e^x/ln(x), воспользуемся правилом дифференцирования частного:

f'(x) = (e^x * ln(x) - e^x * (1/x)) / (ln(x))^2

2) Для нахождения производной функции f(x) = x * e^x + 15, воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

f'(x) = (x * e^x)' + (15)'

Для первого слагаемого применим правило дифференцирования произведения:

(x * e^x)' = x' * e^x + x * (e^x)'

Так как x' = 1, а (e^x)' = e^x, то получим:

(x * e^x)' = e^x + x * e^x = (1 + x) * e^x

Так как второе слагаемое не зависит от x, его производная равна нулю:

(15)' = 0

Итак, получаем:

f'(x) = (1 + x) * e^x + 0 = (1 + x) * e^x

3) Для нахождения производной функции f(x) = 7^x / x^5, воспользуемся правилом дифференцирования частного:

f'(x) = (7^x * x^5 - 7^x * (5 * x^4)) / (x^5)^2

Упрощаем выражение:

f'(x) = (7^x * x^5 - 7^x * 5 * x^4) / x^10

f'(x) = 7^x * (x^5 - 5 * x^4) / x^10

4) Для нахождения производной функции f(x) = 10x • e^x + 4x^2, воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

f'(x) = (10x • e^x)' + (4x^2)'

Для первого слагаемого применим правило дифференцирования произведения:

(10x • e^x)' = (10x)' • e^x + 10x • (e^x)'

Так как (10x)' = 10 и (e^x)' = e^x, то получим:

(10x • e^x)' = 10 • e^x + 10x • e^x = (10 + 10x) • e^x

Для второго слагаемого применим правило дифференцирования произведения:

(4x^2)' = 4 • (x^2)'

Так как (x^2)' = 2x, то получим:

(4x^2)' = 4 • 2x = 8x

Итак, получаем:

f'(x) = (10 + 10x) • e^x + 8x