Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x + 8/x на отрезке [1;3]

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = 2x + \frac{8}{x}\) на отрезке \([1; 3]\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции: \[y' = 2 - \frac{8}{x^2}\]

2. Найти критические точки: Критические точки получаются, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная не существует при \(x = 0\), но это значение не входит в заданный отрезок. Поэтому нам нужно решить уравнение \(2 - \frac{8}{x^2} = 0\).

\[2 = \frac{8}{x^2}\]

\[x^2 = 4\]

\[x = \pm 2\]

Однако \(x = -2\) не входит в заданный отрезок \([1; 3]\), поэтому рассматриваем только \(x = 2\) как критическую точку.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках: - Подставим \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = 3\) в исходную функцию. \[y(1) = 2 \cdot 1 + \frac{8}{1} = 10\] \[y(2) = 2 \cdot 2 + \frac{8}{2} = 6\] \[y(3) = 2 \cdot 3 + \frac{8}{3} = \frac{22}{3}\]

4. Сравнить значения и выбрать наибольшее и наименьшее: Наименьшее значение функции на отрезке [1; 3] равно 6 (при \(x = 2\)), а наибольшее значение равно \(\frac{22}{3}\) (при \(x = 3\)).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = 2x + \frac{8}{x}\) на отрезке [1; 3] равно 6, а наибольшее значение равно \(\frac{22}{3}\).