Question

У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 60°, а сума гіпотенузи та меншого катета-54 см. Знайдіть довжину (у см) гіпотенузи прямокутного трикутника.

Answer 1

Решение задачи на прикреплённой фотографии

Answer 2

Ответ:

36 см

Объяснение:

Позначимо катети прямокутного трикутника через a і b, а гіпотенузу - через c.

За властивостями трикутника з кутом 60 градусів відомо, що b = a * sqrt(3) (де sqrt - корінь квадратний)

Також за умовою задачі маємо систему рівнянь:

b + c = 54 (менший катет і гіпотенуза)

a^2 + b^2 = c^2 (теорема Піфагора)

Підставимо b = a * sqrt(3) у друге рівняння:

a^2 + (a * sqrt(3))^2 = c^2

a^2 + 3a^2 = c^2

4a^2 = c^2

a = c / 2 (звідси випливає, що гіпотенуза ділиться пополам на два катети)

Підставимо a = c/2 у перше рівняння:

c/2 + c = 54

3c/2 = 54

c = 36

Отже, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 36 см.

Answer 3

Давайте позначимо довжину меншого катета як \(a\), довжину більшого катета як \(b\), а гіпотенузу як \(c\).

Згідно з умовою задачі, ми знаємо, що один з кутів трикутника дорівнює \(60^\circ\). Так як у прямокутному трикутнику сума всіх кутів дорівнює \(180^\circ\), то другий гострий кут трикутника буде \(90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

Ми також знаємо, що сума гіпотенузи та меншого катета дорівнює 54 см, тобто \(c + a = 54\).

Використовуючи властивості трикутника, ми можемо скористатися тригонометричним співвідношенням для кута \(30^\circ\). У прямокутному трикутнику відомо, що:

\[\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}\]

Але ми також можемо виразити тангенс кута \(30^\circ\) як відношення протилежного катета до прилеглого катета в прямокутному трикутнику. Оскільки протилежний кут \(30^\circ\) є меншим катетом, то ми можемо записати:

\[\tan(30^\circ) = \frac{a}{c}\]

Розглянемо тепер рівняння \(c + a = 54\). Ми можемо виразити \(a\) з цього рівняння та підставити його в тригонометричне співвідношення:

\[c + \frac{c}{\tan(30^\circ)} = 54\]

Після цього можна розв'язати рівняння відносно \(c\) та знайти його значення. Знайдена гіпотенуза \(c\) буде відповіддю на ваше питання.