Question

Срочно! Даю 50 балів! Функція у = f(x) неперервна в точці хо= 1, причому f'(x) <0 на проміжку (0: 1) f (x)>0 на проміжку (1; 2). Чи є точка хо= 1 точкою максимуму чи мінімуму?

Answer 1

Ответ:

Не можна точно визначити, чи є точка хо=1 точкою максимуму чи мінімуму, оскільки знак функції f(x) змінюється в точці хо=1.

Так як f(x) < 0 на проміжку (0, 1), то можна стверджувати, що f(1) не є максимумом на цьому проміжку, але може бути мінімумом.

Аналогічно, так як f(x) > 0 на проміжку (1, 2), то можна стверджувати, що f(1) не є мінімумом на цьому проміжку, але може бути максимумом.

Отже, точка хо=1 може бути точкою мінімуму або максимуму функції f(x), але для визначення її типу необхідно додаткова інформація.

Answer 2

Функція у = f(x) є неперервною в точці х₀ = 1 та має властивість f'(x) < 0 на проміжку (0, 1) та f(x) > 0 на проміжку (1, 2). За цими умовами, ми можемо визначити, чи є точка х₀ = 1 точкою максимуму чи мінімуму, використовуючи теорему про похідну.

Використання теореми про похідну

За теоремою про похідну, якщо функція має неперервну похідну на відрізку (a, b) і f'(x) < 0 на проміжку (a, c) та f'(x) > 0 на проміжку (c, b), то точка c є точкою максимуму функції f(x), якщо f''(c) < 0, і точкою мінімуму, якщо f''(c) > 0.

Застосування до даної ситуації

У нашому випадку, ми маємо f'(x) < 0 на проміжку (0, 1) та f'(x) > 0 на проміжку (1, 2). Оскільки f'(x) змінює знак з мінусу на плюс в точці х₀ = 1, ми можемо припустити, що точка х₀ = 1 є точкою мінімуму функції f(x).

Висновок

Точка х₀ = 1 є точкою мінімуму функції f(x).