Question

Обчислить площу фігури, обмеженої лініями: у = 0; у = 3x; y = 4-x​

Answer 1

Ответ + объяснение:

Для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной тремя прямыми, необходимо найти точки их пересечения. Решим систему уравнений, составленную из уравнений данных прямых:

y = 0

y = 3x

y = 4 - x

Подставляем y второго и третьего уравнений равенства первому, получим систему:

0 = 3x

0 = 4 - x

Решая её, получим x = 0, y = 0, и x = 4, y = 12. Теперь мы можем построить график трёх прямых и найти площадь фигуры, ограниченной ими:

(на рисунке)

Площадь этой фигуры можно найти как сумму площадей двух треугольников. Первый треугольник образуется прямыми y = 0, y = 3x, и осью x и имеет площадь A1 = (1/2)*3x*x = (3/2)*x^2. Второй треугольник образуется прямыми y = 3x, y = 4 - x, и вертикальной линией x = 4 и имеет площадь A2 = (1/2)*(4-x)*3x = (6x-x^2)/2. Тогда площадь фигуры будет:

A = A1 + A2 = (3/2)*x^2 + (6x-x^2)/2 = 4.5x

Подставляем x = 4, получаем A = 18. Итак, площадь фигуры равна 18 квадратных единиц.

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої заданими лініями, ми можемо скористатися методом інтегрування для знаходження площі під кривими. Для заданої фігури, обмеженої лініями \(y = 0\), \(y = 3x\) і \(y = 4 - x\), ми повинні знайти точки їх перетину та визначити область на координатній площині.

1. Знайдемо точки перетину ліній: a) \(y = 0\) і \(y = 3x\): Підставимо \(y = 0\) у \(3x\) і розв'яжемо рівняння: \[3x = 0 \implies x = 0\] Таким чином, точка перетину цих ліній \(A(0, 0)\). b) \(y = 3x\) і \(y = 4 - x\): Підставимо \(3x\) у \(4 - x\) і розв'яжемо рівняння: \[4 - 3x = x \implies x = \frac{4}{4} = 1\] Таким чином, точка перетину цих ліній \(B(1, 3)\). c) \(y = 0\) і \(y = 4 - x\): Підставимо \(y = 0\) у \(4 - x\) і розв'яжемо рівняння: \[4 - x = 0 \implies x = 4\] Таким чином, точка перетину цих ліній \(C(4, 0)\).

2. Тепер ми можемо скласти інтеграл для обчислення площі між цими лініями:

\[S = \int_{0}^{1} (3x - 0) \,dx + \int_{1}^{4} (4 - x - 0) \,dx\]

Розрахунок цього інтегралу допоможе знайти площу фігури, обмеженої вказаними лініями.

\[S = \int_{0}^{1} 3x \,dx + \int_{1}^{4} (4 - x) \,dx\]

\[S = \left[\frac{3}{2}x^2\right]_{0}^{1} + \left[4x - \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}\]

\[S = \frac{3}{2} + (16 - 2 - 4) - \left(4 - \frac{1}{2}\right)\]

\[S = \frac{3}{2} + 10 - \frac{7}{2}\]

\[S = \frac{17}{2}\]

Отже, площа фігури, обмеженої лініями \(y = 0\), \(y = 3x\) і \(y = 4 - x\), дорівнює \(\frac{17}{2}\).