Question

Обчисли площу фігури, обмеженою лініями: у=х^2; у=√-х Знайдіть об'єм тіла криволінійної трапеції обмеженої лініями у=√х, у=х Даю 70 балів

Answer 1

Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями \(y = x^2\) та \(y = \sqrt{-x}\), спочатку знайдемо точки їх перетину. Прирівняємо вирази \(x^2\) та \(\sqrt{-x}\):

\[ x^2 = \sqrt{-x} \]

Піднесемо обидві сторони рівняння до квадрата, щоб позбавитися від'ємного кореня:

\[ x^4 = -x \]

Тепер маємо квадратне рівняння:

\[ x^4 + x = 0 \]

Факторизуємо його:

\[ x(x^3 + 1) = 0 \]

Отримуємо дві різні точки перетину: \(x = 0\) та \(x = -1\).

Тепер знайдемо відповідні значення \(y\) для кожної з цих точок, підставивши їх у відповідні рівняння:

1. Для \(x = 0\): \(y = 0^2 = 0\) та \(y = \sqrt{0} = 0\). 2. Для \(x = -1\): \(y = (-1)^2 = 1\) та \(y = \sqrt{-(-1)} = 1\).

Отже, точки перетину цих двох функцій - це (0, 0) та (-1, 1).

Тепер обчислимо площу фігури між цими двома кривими за допомогою інтегралу. Площа \(S\) може бути знайдена як різниця інтегралів від \(y = x^2\) та \(y = \sqrt{-x}\) від точки \(x = -1\) до \(x = 0\):

\[ S = \int_{-1}^{0} (x^2 - \sqrt{-x}) \,dx \]

Обчислимо цей інтеграл:

\[ S = \int_{-1}^{0} (x^2 + x) \,dx \]

\[ S = \left[\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{0} \]

\[ S = \left(0 - \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) \]

\[ S = \frac{1}{6} \]

Отже, площа фігури між \(y = x^2\) та \(y = \sqrt{-x}\) від \(x = -1\) до \(x = 0\) дорівнює \(\frac{1}{6}\).

Щодо об'єму тіла криволінійної трапеції, обмеженої лініями \(y = \sqrt{x}\) та \(y = x\), вибачте за невірний підрахунок у попередньому відповіді. Об'єм можна знайти за допомогою інтегралу:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 - x^2 \,dx \]

\[ V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx \]

\[ V = \pi \left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} \]

\[ V = \pi \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \]

\[ V = \pi \cdot \frac{1}{6} \]

Отже, об'єм тіла дорівнює \(\frac{\pi}{6}\).

Якщо у вас є додаткові запитання чи потрібна додаткова допомога, будь ласка, повідомте мене!