Question

Обчисліть об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями: , у = 0, x = 0, х = 4.

Answer 1

Криволінійна трапеція має вигляд:

y = x/2 + 1

Тоді, для обчислення об’єму тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис, можна скористатися формулою об’єму тіла обертання:

V = π∫[a,b] y^2 dx

де a = 0, b = 4.

Тоді:

V = π∫[0,4] (x/2 + 1)^2 dx

V = π∫[0,4] (x^2/4 + x + 1) dx

V = π[(x^3/12) + (x^2/2) + x]∣₀⁴

V = π[(4^3/12) + (4^2/2) + 4] - π[(0^3/12) + (0^2/2) + 0]

V = π[16/3 + 8 + 4] - 0

V = (28π/3) кубічних одиниць.

Answer 2

Для обчислення об'єму тіла, утвореного при обертанні криволінійної трапеції навколо осі абсцис, ми можемо використати метод обертання тіл.

Задання

Ми маємо криволінійну трапецію, обмежену лініями `у = 0`, `x = 0`, `х = 4`. Наше завдання - обчислити об'єм тіла, утвореного при обертанні цієї трапеції навколо осі абсцис.

Кроки для обчислення об'єму

1. Спочатку потрібно знайти функцію, що описує верхню межу трапеції. За заданими лініями, верхня межа трапеції - це лінія `x = 4`. 2. Знайдемо функцію, що описує нижню межу трапеції. За заданими лініями, нижня межа трапеції - це лінія `у = 0`. 3. Обчислимо довжину криволінійної трапеції. Це можна зробити за допомогою формули довжини кривої `L = ∫(sqrt(1 + (dy/dx)^2))dx`, де `dy/dx` - похідна функції, що описує нижню межу трапеції. 4. Обчислимо об'єм тіла, використовуючи формулу обертання тіл `V = π∫(f(x))^2dx`, де `f(x)` - функція, що описує верхню межу трапеції.

Обчислення довжини кривої

За заданими лініями, похідна функції, що описує нижню межу трапеції, дорівнює нулю, оскільки `у = 0` - це горизонтальна лінія. Тому, довжина криволінійної трапеції дорівнює довжині відрізка між точками `(0, 0)` і `(4, 0)`, що є прямою лінією.

Обчислення об'єму

За заданими лініями, функція, що описує верхню межу трапеції, є постійною і дорівнює `y = 4`. Отже, об'єм тіла можна обчислити за формулою обертання тіл:

V = π∫(f(x))^2dx
  = π∫(4)^2dx
  = 16π∫dx
  = 16πx + C

Відповідь

Отже, об'єм тіла, утвореного при обертанні криволінійної трапеції навколо осі абсцис, дорівнює `16πx`, де `x` - координата точки на осі абсцис.