Question

8. Обчисліть об'єм тіла, утвореного в результаті обертання навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = 2x, y = x+3,x = 0, х = 1.

Answer 1

Ответ:

Решение: при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Ox, которая ограничена сверху прямой y=x+1, а справа и слева прямыми x=0 и x=2 и снизу прямой y=1, образуется тело - обрезанный конус, у которого вырезан в центре цилиндр.

Объяснение:

Answer 2

Для обчислення об'єму тіла, утвореного в результаті обертання фігури навколо осі абсцис, ми можемо скористатися методом обертання області під графіком функцій відносно осі абсцис. Спершу знайдемо точки перетину цих функцій і горизонтальної лінії y = 0 (осі абсцис).

1. Знайдемо точку перетину функцій y = 2x і y = x + 3:

2x = x + 3

Тепер віднімемо x від обох боків:

x = 3

Отже, точка перетину цих двох функцій має координати (3, 6).

2. Тепер ми маємо точку перетину графіків x = 3 і x = 0:

x = 0

3. Зараз ми маємо всі точки перетину функцій, які обмежують фігуру. Графік функцій y = 2x і y = x + 3 виглядає так:

   | * (3,6) | 3 | * | | * |__________ 0 1 2 3

Фігура обмежена графіками y = 2x, y = x + 3, x = 0 і x = 3.

4. Тепер ми можемо обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо осі абсцис за допомогою інтегралу. Об'єм такого тіла можна знайти за формулою:

V = ∫[a, b] A(x) dx

де A(x) - площа поперечного перерізу фігури в точці x, a і b - межі інтегрування. У нашому випадку a = 0 і b = 3.

Площу поперечного перерізу A(x) можна знайти як різницю площ під графіками функцій y = 2x і y = x + 3 від x до x + dx (де dx - диференціальний елемент довжини):

A(x) = π * [ (2x)^2 - (x + 3)^2 ] dx

Тепер обчислимо цей інтеграл від 0 до 3:

V = ∫[0, 3] [ π * (4x^2 - (x + 3)^2) ] dx

Спростимо вираз у дужках:

V = π * ∫[0, 3] [ 4x^2 - (x^2 + 6x + 9) ] dx

V = π * ∫[0, 3] [ 3x^2 - 6x - 9 ] dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

V = π * [ x^3 - 3x^2 - 9x ] |[0, 3]

V = π * [ (3^3 - 33^2 - 93) - (0^3 - 30^2 - 90) ]

V = π * [ (27 - 27 - 27) - (0 - 0 - 0) ]

V = π * (-27)

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі абсцис, дорівнює -27π кубічних одиниць.