Question

Знайдіть об'єм тiла, утворенного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = x², y = x Будь ласка з малюнком ​

Answer 1

Щоб знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі абсцис, ми можемо скористатись формулою об'єму циліндра:

V = ∫[a, b] πy² dx,

де a і b - це x-координати точок перетину кривих y = x² та y = x.

Спочатку знайдемо точки перетину: x² = x, x² - x = 0, x(x - 1) = 0.

Таким чином, ми отримуємо дві точки перетину: x = 0 і x = 1.

Тепер обчислимо об'єм тіла:

V = ∫[0, 1] πy² dx.

Оскільки фігура обмежена лініями y = x² та y = x, ми можемо використовувати y = x² як функцію, яку обертаємо навколо осі абсцис.

Малюнок, що відображає дану фігуру:

luaCopy code
  |
4 |       ------
  |     /        \
  |   /            \
2 |  ----------------
  |
  --------------------
    0    1    2    3

Тепер можемо обчислити об'єм тіла:

V = ∫[0, 1] π(x²)² dx.

V = π∫[0, 1] x⁴ dx.

V = π[x⁵/5]₀¹.

V = π(1/5 - 0/5).

V = π/5.

Таким чином, об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис, складає π/5 (або приблизно 0.628 кубічних одиниць).