Question

Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої заданими лініями y^2-4x=0,x-2=0,x-4=0,y=0 --------------------------------------------Перевод на русский :Найти объем тела,сформированого вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченного этими линиями yОчень нужно, пожалуйста помогите! ​

Answer 1

Ответ:    $V=24\pi$  ед³  .

$y^2-4x=0\ \ \ \to \ \ \ y=\pm \sqrt{4x}\ \ ,\ \ y=\pm 2\sqrt{x}\\\\x-2=0\ \ ,\ \ \ x-4=0\ \ ,\ \ y\geq 0\\\\\\S=\int\limits^4_2\, 2\sqrt{x}\, dx=2\cdot \dfrac{x^{3/2}}{3/2}\ \Big|_2^4=\dfrac{4}{3}\cdlot \sqrt{x^3}\Big|_2^4=\dfrac{4}{3}\cdot \Big(\sqrt{4^3}-\sqrt{2^3}\Big)=\dfrac{4}{3}\cdot \Big(8-2\sqrt2\Big)$

$V=\pi \int\limits^4_2\, y^2(x)\, dx=\pi \int\limits^4_2\, 4x\cdot dx=\pi \cdot \dfrac{4x^2}{2}\ \Big|_2^4=2\pi \cdot (4^2-2^2)=2\pi \cdot 12=24\pi$

Answer 2

Для нашого расчета мы будем использовать метод вращения вокруг оси абсцисс. Сначала мы найдем точки пересечения заданных линий, чтобы определить границы фигуры.

Заданные линии:

1. y^2 - 4x = 0
2. x - 2 = 0
3. x - 4 = 0
4. y = 0

Давайте начнем с нахождения точек пересечения линий:

1. Из уравнения (2): x = 2
2. Из уравнения (3): x = 4
3. Из уравнения (4): y = 0
4. Подставим x = 2 в уравнение (1): y^2 - 4 * 2 = y^2 - 8 = 0 => y = ±√8 = ±2√2

Итак, у нас есть четыре точки пересечения: A(2, 2√2) B(2, -2√2) C(4, 2√2) D(4, -2√2)

Теперь давайте представим фигуру, образованную этими линиями, как область между кривой y^2 - 4x и отрезками x = 2 и x = 4.

Теперь мы можем рассчитать объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси абсцисс. Объем такой фигуры можно найти с помощью интеграла:

V = ∫[a, b] πy^2 dx

Где a и b - границы фигуры по оси x, то есть a = 2 и b = 4.

V = ∫[2, 4] π(y^2 - 4x) dx

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

V = π ∫[2, 4] (y^2 - 4x) dx

Для упрощения вычислений мы можем использовать симметрию фигуры и удвоить объем, учитывая только положительные значения y:

V = 2π ∫[2, 4] (y^2 - 4x) dx

Теперь подставим значения y^2 из уравнения (1):

V = 2π ∫[2, 4] ((4x) - 4x) dx

V = 2π ∫[2, 4] (4x - 4x) dx

V = 2π ∫[2, 4] 0 dx

V = 2π * 0 [2, 4]

V = 0

Итак, объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси абсцисс, равен 0.