Question

Знайдіть об'єм тіла утвореного обертанням навколо осі Оx фігури, обмеженої графіками функцій y=x²+1 і y=1-x² x Є[0;1]

Answer 1

Скачай Foto Math мальчик

Answer 2

Для знаходження об'єму тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі Ox, можна скористатися методом обертання об'єму.

Спочатку знайдемо точки перетину графіків функцій y = x² + 1 і y = 1 - x²: x² + 1 = 1 - x² 2x² = 0 x = 0

Таким чином, графіки функцій перетинаються при x = 0.

Тепер розглянемо симетричні відносно осі Ox ділянки фігури від x = 0 до x = 1.

Об'єм тіла, утвореного обертанням цієї ділянки навколо осі Ox, можна обчислити за допомогою наступного інтегрального виразу:

V = ∫[0,1] π(f(x)² - g(x)²) dx

де f(x) - верхня функція (y = x² + 1), g(x) - нижня функція (y = 1 - x²).

Застосуємо цей інтеграл для обчислення об'єму:

V = ∫[0,1] π((x² + 1)² - (1 - x²)²) dx

V = ∫[0,1] π(x⁴ + 2x² + 1 - (1 - 2x² + x⁴)) dx

V = ∫[0,1] π(4x²) dx

V = 4π∫[0,1] x² dx

Щоб обчислити цей інтеграл, візьмемо відповідну нескінченну межу і обмежимо його від 0 до 1:

V = 4π[(x³/3) [0,1]

V = 4π(1/3 - 0/3)

V = 4π/3

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі Ox, складає 4π/3 одиниці об'єму.